第6章 习题解答

第六章 习题解答(部分)

［1］数字滤波器经常以图P6-1描述的方式来处理限带模拟信号，在理想情况下，通过A/D变换把模拟信号转变为序列x(n)?xa(nT)，然后经数字滤波器滤波，再由D/A变换将y(n)变换成限带波形ya(n)，即有

?π?sin?(t?nT)?T? ya(t)?y(n)?πn???(t?nT)T??这样整个系统可等效成一个线性时不变模拟系统。

如果系统h(n)的截止角频率是?/8rad，T?0.01ms，等效模拟滤波器的截止频率是多少？ 设T?5?s，截止频率又是多少？

解：对采样数字系统，数字频率?与模拟角频率?之间满足线性关系???T。因此，

?c1??625Hz

T8T2?16T???1当T?5?s时， ?c?c?，fc?c??12500Hz

2?16TT8T当T?0.01ms时，?c??c??，fc?［2］已知模拟滤波器的系统函数为Ha(s)?b，试用冲激响应不变法将Ha(s)转换为

?s?a?2?b2H(z)。其中抽样周期为T，式中a、b为常数，且Ha(s)因果稳定。

解：Ha(s)的极点为：s1??a?jb，s1??a?jb

11j?j22将Ha(s)部分分式展开： Ha(s)? ?s?(?a?jb)s?(?a?jb)所以有

H(z)?通分并化简整理得：

1j21?e(?a?jb)T?z?1?1j21?e(?a?jb)Tz?1

z?1e??TsinbT H(z)?

1?2z?1e??TcosbT?z?2e?2?T［3］设计一个模拟带通滤波器，要求其幅度特性为单调下降（无波纹），通带带宽

B?2??200rad/s，?s1?2??800rad/s，中心频率?0?2??100rad/s，通带最大衰减?p?2dB，

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?s2?2??1240rad/s，阻带最小衰减?s?15dB。

解：归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为：

2?2??0??

??B?0??p1?p2?2??100rad/s，B?2??200rad/s，?p?2dB ?s1?2??800rad/s，?s2?2??1240rad/s，?s?15dB

因此，归一化原型低通滤波器的通带频率?p取1，通带处最小衰减为2dB。 同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：

2?2??0?s1??B2?2??0?3.9375， ?s2??B?6.1597

???s2???s1因此，归一化原型低通滤波器的阻带频率?s?min(?s1,?s2)?3.9375，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最大衰减为15dB。

利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器H(s) 利用归一化原型低通滤波器的指标，得巴特沃斯低通滤波器阶数N

?100.2?1?lg??101.5?1?????1.444 N??1?2lg??3.9372??取N?2，查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 HLP(s)?1

s2?1.4142s?1由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器

2HBP(s)?HLP(s)s?s2??0s?Bs2B2?2 222222(s??0)?1.4142(s??0)sB?sB［4］设计数字低通滤波器，要求幅频特性单调下降。3dB截止频率?p??c??/3rad，阻带截止频率?s?4?/5rad，阻带最小衰减?s?15dB，采样频率fs?30kHz，分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计。

解：（1）用冲激响应不变法 ① 确定数字滤波器指标

?p??/3rad，?p?3dB ?s?4?/5rad，?s?15dB

100

② 将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。因为在冲激响应不变法中，???T，所以，

?P??PT???3?30?103?10000?rad/s，?p?3dB

?s??sT4??30?103?24000?rad/s，?s?15dB 5③ 求模拟滤波器的系统函数Ha(s)。

(a)计算阶数N，采用Butterworth低通滤波器，根据设计指标，得

lg[(100.1?P?1)/(100.1?s?1)] N??1.9569

2lg(?p/?s)取N?2。

(b) 查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型：

1 HLP(s)?2

s?2s?1(c) 频率变换，由归一化低通原型转换为实际的低通滤波器

Ha(s)?HLP(s)s?s?P??2ps2?2?ps??2p

?108?2s?10?2s?10?2482④ 将Ha(s)转换成H1(z)，可以调用MATLAB impinvar 函数直接求出，这样不用求极点以及部分分式展开。

0.4265z?1 H1(z)? ?1?21?0.7040z?0.2274z（2）用双线性变换法设计 ① 确定数字滤波器指标

?p??/3rad，?p?3dB ?s?4?/5rad，?s?15dB

② 满足要求的模拟低通滤波器的指标

?2??P?tanp?6?104tan?34641rad/s

T26?s?2?2?tans?6?104tan?18.466?104rad/s T25③ 求模拟滤波器的系统函数Ha(s)

(a)计算阶数N，采用Butterworth低通滤波器，根据设计指标，得

101

lg[(100.1?P?1)/(100.1?s?1)] N??1.0238

2lg(?P/?s)取N?2。

(b) 查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型：

1 HLP(s)?2

s?2s?1(c) 频率变换，由归一化低通原型转换为实际的低通滤波器 Ha(s)?HLP(s)s?s?P12.0?108 ?2?248s?4.90?10s?12.0?10s?2?ps??2p?2p④ 用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z) H(z)?Ha(s)s?21?z?1T1?z?10.155?0.3101z?1?0.155z?2? ?1?21?0.6202z?0.2403z［5］设模拟滤波器的系统函数为

(1)Ha(s)?11 (2) H(s)?a22s?5s?6s?s?1试用冲激响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器。

解：（1）Ha(s)?111 ??2s?5s?6s?2s?3Ai0.855z?1?

1?esiTz?11?0.1851z?1?0.0067z?2设T?1，用冲激响应不变法设计，则有

H(z)?T?i?1N设T?2，用双线性变换法设计，则有

0.083?0.1667z?1?0.083z?2 H(z)?Ha(s)|21?z?1? ?1?2s?1?0.833z?0.1667z?1T1?z（2）Ha(s)?1s?0.5774is?0.5774i ??s2?s?1s?0.5?0.866is?0.5?0.866iN设T?2，用冲激响应不变法设计，则有

H(z)?T?i?1Ai0.8386z?1?

1?esiTz?11?0.1181z?1?0.135z?2设T?2，用双线性变换法设计，则有 H(z)?Ha(s)s?21?z?1T1?z?111?2z?1?z?2 ?2??2?11?zs?s?1s?3?z1?z?10.3333?0.6667z?1s?0.3333z?2 ?

1?0.3333z?2［6］如果用ha(t)、ua(t)和Ha(s)分别表示一个时域连续线性时不变系统的单位冲激响应、单位阶

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跃响应和系统函数，用h(n)、s(n)和H(z)分别表示一个时域离散LTI系统的单位冲激响应、单位阶跃响应和系统函数，那么，

(1)若h(n)?ha(nT)，则s(n)?k????h(kT)是否成立？

a?(2)若s(n)?ua(nT)，则h(n)?ha(nT)是否成立？ 解：（1）由于u(n)?u(n)??(n)?阶跃响应s(n)为：

??(n?m)，根据线性非移变系统的可加性可以得出系统的

m?0?s(n)?k????h(k)

?h(kT)

a??如果h(n)?ha(nT)，则有s(n)?k???（2）因为?(n)?u(n)?u(n?1)

同样根据叠加原理可以得出该系统的单位取样响应h(n)为

h(n)?s(n)?s(n?1) 如果s(n)?ua(nT)，则

h(n)?ua(nT)?ua(nT?T)?ha(nT)

［7］用冲激响应不变法设计的数字滤波器在时域模仿了模拟滤波器的ha(t)的特性。在实际工作中，有时需要数字滤波器模仿模拟滤波器的单位阶跃响应波形。试推导单位阶跃响应不变法的设计公式，并讨论该设计是否保持模拟滤波器的稳定性。

解：阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t)，即将模拟滤波器的阶跃响应加以等间隔的抽样，使g(n)正好等于ga(t)的抽样值，满足

g(n)?ga(t)t?nT?ga(nT)，其中T是抽样周期。

设数字滤波器的系统函数为H(z)，如果其输入端作用于一个阶跃函数u(n)，则其输出端为阶跃响应g(n)，因而满足：

g(n)?u(n)?h(n) 将此式两端取z变换可得：

G(z)?所以

zH(z) z?1z?1G(z) zH(z)? 103

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