微积分第一章习题解答（下）(4)

d?x?y?22?x?x?22122

(x?x?2)22∵d最小当且仅当d2?设f(x)?12(x?x?2)22最小

122∴f?(x)?(x?x2?2)?(1?2x)令0 ?唯一驻点x?2

2f??(x)?(1?2x)?(1?2x)?(x?x?2)?(?2)?(1?2x)?2(x?x?2)

122?f??()?(1?2x)?2(x?x?2)2??12?72?0

∴当x?12时，f(x)有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点）

2∵d12?x?x?2212=

728

故抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离为

728

5、求抛物线z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为d?此问题即是求d?222x?y?z222

22?z?x?y222下的最大值和最小值。 x?y?z在条件??x?y?z?1令L?x?y?z??(x?y?z)??(x?y?z?1)

?Lx??Ly??由?Lz??L??L????2x?2?x??令0?2y?2?y??令0?2z????令0?x?y?z令0?x?y?z?1令02222①②③ ④⑤由①-②得2(1??)(x?y)?0 若???1代入①，得??0，

16

再代入④，?z??????1，有x?y12<0, 不合题意

3?2x2?z?1?代入④，⑤由?，解得y?x?2?2x?z?1， z?2?3

∴驻点为：P1(∴d?2?1?2223?1?,2?P13,?1?3)和P2(?2?1?223?1?,22P23,?1?3)

P1x?y?z9?53，dP2x?y?z?9?53

3由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为

6（题略）.

9?5和9?53

?3解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=?rH?22rh,

2 故:3V-?r2(3H?2h)=0 (1) 浮标表面积S(r,h,H)=2?rH?2?rr2?h2?2?r(H?

令L(r,h,H)=2?r(H? 由 有?r?23?L?H?2?r?3??r2r?h)

22r?h)+?[3V??r(3H?2h)222?

?L?r?2?(H?r?h)?2?22r222?2r??(3H?2h)=0 （2）

r?h?L?h?2?rhr?h22?2??r=0 (3)

2?0 (4)

, 代入（3）有

hr?h22?23?0, 故

rh?52, r=

52h,再由（2），有H=h,

h=

25r, ( r,

25r,

25r)为S(r,h,H)

唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,

17

rh?52时,材料最省。

7（题略） 解S=

F12设(BC+AD)h=

BC=a,

12则横截

Sh面

?h?ctg?积

,湿周

(2a?2hctg? )h=(a+h ctg? )h,a= hsSh ??h?ct??g2i?nhsi?n( ?)h=?,a?2C?Da?2?f?h?f????Sh2由

?ctg??2sin??0 (1)

?1?2cos?sin?2?0 (2)

由(2)有1-2cos??0,???3, 由(1), h=

S4, 即(

?33,S43)为唯一驻点，故当???3,

h=

S4 时，湿周最小.

3

18

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库微积分第一章习题解答（下）(4)在线全文阅读。