微积分第一章习题解答（下）(3)

解：

?f?x?cos(xy)*(2xy)?sin(xy)*y,

222

?f?y?cos(xy)*x?sin(xy)*(2xy),

222222222 ?gradf?(2xycosx(y)?ysinxy(),xcos(xy)?2xysin(xy))

(2)f(x,y)?yxxe.

xxxy解：

?f?x?(?yxxy2)ey?xyxyey1y?1xe(1?xyyx),

?f?y?1xe?yx1xe(?xxy2)?e(y1x?1y1y),

?gradf?(e(1?yyxx)，ey(321x34?。 )）

223． 一个登山者在山坡上点(?,?1,)处，山坡的高度z由公式z?5?x?2y近似，其

中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。 解：

?z?x?z?y33(?,?1,)2433(?,?1,)24??2x33(?,?1,)24?3,

??4y33(?,?1,)24?4,

?按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。

4． 解：

?T?x?y(1?y)(1?2x),?T?y?x(1?x)(1?2y)

沿方向?gradT11(,)43?(?19,?116)

5． 解：设路径为y?f(x)，在点(x,y)处gradT?(?2x,?8y)

y?f(x)在(x,y)点的切向量为??(1,dydx)

?gradT平行于切向量?,?dx?2x?dy?8y?y?cx

4 因为过(1,2),?y??2x

4 11

习题1-5 1、求曲线x?t1?t,y?12t?1t,z?t2在对应于t?1点处的切线及法平面方程。

解：当t?1时，x(1)?T''',y(1)?2,z(1)?1，

1(,2,1)2?{x(1),y(1),z(1)}?{1?(1?t)?1?t(1?t)y?2?12,t?(t?1)t2,2t}t?11?{,?1,2} 4y?2?4z?18故所求切线方程为：

1x?12141??z?12，即:

x?121??

法平面方程为：(x?)?(y?2)?2(z?1)?0 即: 2x?8y?16z?1

422、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程

22??x?y?2（1）?2 2??y?z?2 在点(1,1,1)

解 ：将方程两端对x求导，得

x?dydy???2x?2y?0?dx?y??dx?? ? 在M(1,1,1)处T?(1,?1,1) ?dz?x?2ydy?2zdz?0??dxdx?z?dx故所求的切线方程为：x?1?法平面方程：x?y?z?1

y?1?1?z?1

?x2?y2?z2?6（2）? 在点(1,?2,1)

?x?y?z?0解法1：将方程两端对x求导，得

dydzdz??dy2x?2y??2z??0y??z???x????dxdxdxdx?? ??1?dy?dz?0?dy?dz??1??dxdxdx??dx当J?y11Jz1?x?1?y?x?0时，有

dydx??z1?z?xy?z，

dzdx?1J?y1?x?1?x?yy?z

12

?T(1,?2,1)?z?xx?y??dydz???1,,?,?{1,0,?1}??1,??dxdx?(1,?2,1)?y?zy?z?(1,?2,1)

?x?1z?1??故所求的切线方程为：??11?y?2?0?

法平面方程：?(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0 即：x?z?0 解法2：将方程组两端求微分：得?∴曲线在点(1,?2,1)处的切向量为

3. （题略）

解：（1）令 F（x，y，z）=arctgP0的切平面方程为：-12(x?1)?yx1212?2xdx?2ydy?2zdz?0?dx?dy?dz?0

-z, Fx(P0)??',Fy(P0)?',Fz(P0)= -1，曲面在点

'12(y?1)?(?1)(z??4)?0，即： x - y - 2z -

?2=0；

法线方程为：

x?1?12?y?112z???4，即：x?1?y?1?1?1?1z?2?4 ；

（2）令F(x,y,z)?z?y?ln则Fx??1xxz

1z，Fy??1，Fz?1?

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：n?{?1,?1,?2}

故所求的切平面方程为：(?1)?(x?1)?(?1)?(y?1)?2(z?1)?0即： x?y?2z?0 法线方程为：

xzyzx?1?1?y?1?1?z?12

（3）令F（x，y，z）=2+2-8，Fx(P0)?4ln2,Fy(P0)??4ln2,Fz(P0)=-

16ln2，曲面在点P0的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0，

即：x-y-4z=0，法线方程为：

x?24ln2?y?24ln2?z?1?16ln2'''，即：

x?21?y?21?z?1?4

13

4、解：??z?x?1x?y，

?z?y?1x?y ??z(1,2)?{1x?yx?y,1}(1,2)11?{,} 33又∵抛物线y2?4x在(1,2)点处的切线斜率为：

dydx(1,2)?1

∴抛物线y?4x在(1,2)点处偏向x

2??dy轴正向的切线方向为T??1,??dx????{1,1} (1,2)??∴T0????12,1?? 2?故所求的方向导数为：习题1-6

1（题略）. 解：由 又

?f?x22?z?T(1,2)2221??11??1 ????,???,??6632??33??2?f?x?4?2x?0,

?f?y??4?2y?0,有 x=2, y=-2, 即P0(2, -2)为 f(x,y) 的驻点,

??2,?f?x?y2?0,?f?y22??2, D（P0）=4>0,

?f?x22(P0)=-2

故P0 (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8.

2（题略）.

??f2??x?3x?6y?39令0?x2?2y?13?0?解：由 ?有? 驻点：(5,6)和(1,?6)

?f?y?3x?9?0??2y?6x?18令0???y??f?x22?6x

?f?y22?2

?f?x?y2??6

?(5,6)?6x?2?(?6)2(5,6)??12x?36?(5,6)?24?0，而

?f?x2(5,6)2?6x(5,6)?30

∴f(x,y)在点(5,6)取得极小值f(5,6)??88 又∵?(1,?6)?6x?2?(?6)2(1,?6)??12x?36?(1,?6)??24?0

∴f(x,y)在点(1,?6)不取得极值

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3、求z?x2?y2在闭区域x2?4y2?4上的最大值和最小值

??z??x?2x?0?解：由?，得唯一驻点(0,0)

?z???2y?0???y又∵在边界x?4y?4即椭圆

22x2222?y?1上,z?x?y?4?5y y?(?1,1)

24由

d(4?5y)dy?0，得驻点：y?0?(?1,1)

∴所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1) 相应的函数值为： 0 4 4 -1 -1 4、求抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离。

解：设P(x,y)为抛物线y?x2上任意一点，它到直线x?y?2?0的距离为

d?x?y?22，d最小当且仅当d2最小

12(x?y?2)2此问题即是求d2?在条件y2?x下的最小值。

解法1（用拉格朗日乘数法） 设L?12(x?y?2)??(y?x)

221?L??x2?2(x?y?2)?1?2x?令0?(1?2?)x?y?2?0?111??由?Ly??2(x?y?2)?(?1)??令0，即???x?y?2?0得唯一驻点(,)

242??2?y?x?0?L??y?x2令0??故由实际问题知抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离在在，为：

dmin?d?72811(,)24

解法2（转化为无条件极值）

设抛物线y?x2上点P(x,x2)，它到直线x?y?2?0的距离为

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