弧长的公式、扇形面积公式及其应用

n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：， 圆心角为n°的扇形面积的计算公式是

。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

。

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用表示）

分析：由图可知

＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

由圆周角定理可知∠ABC＝

∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC

，

所以

注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 公 式 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 （2）扇形与弓形的联系与区别 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2

，圆锥的侧面积

，圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积

，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥

圆柱 图形 图形的形成过程 图形的组成 侧面展开图的特征 面积计算方法

由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 一个底面和一个侧面 扇形 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。 两个底面和一个侧面 矩形

【典型例题】

例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为所以

故答案为：B.

，

例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10厘米，tan∠BAC＝

，求阴影部分的面积。

分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。

解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数） 由勾股定理得所以BC＝6，AC＝8，所以

例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）

，而

分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝

，

因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以一部分为N，则

割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P，

因为∠BOD＝∠DOC，所以

所以M＝P，所以

，设两部分阴影的面积中的一部分为M，另，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用

答案：

例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。

。

分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2 CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4 在△CDH中，

所以

例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米 （1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

分析：（1）由扇形面积公式

，可得扇形半径R，扇形的弧长

可由弧长公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，底面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。

解：（1）设扇形的半径为R，

由

，得

，解得R＝30.

所以扇形的弧长（厘米）。

（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以

在Rt△ADC中，高AD＝所以轴截面面积

（平方厘米）。

弧长及扇形的面积公式 姓名_________

一、选择题

1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ） A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л

2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ） A. B. C. D.

3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）

A. 90° B. C. D.180°

4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ）

A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍

5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ） A.

C.

B. D.

6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm

7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（ ）

A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：

9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（ ）

A. S1＝S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2 D. S1、S2的大小关系不确定

二、填空题

1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为 .

4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则S1： S2＝ 。

5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。 6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是

的三等分点，则阴影部分的面积是 。

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