高考数学二轮复习：专题训练（七） 三角恒等变换与解三角形

专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形

A级——基础巩固组

一、选择题

π24

－，0?，则sinα＋cosα＝( ) 1．已知sin2α＝－，α∈??4?251

A．－

57C．－

5

1B. 57D. 5

π

－，0?，∴cosα>0>sinα且cosα>|sinα|，则sinα＋cosα＝1＋sin2α＝ 解析 ∵α∈??4?241

1－＝. 255答案 B

π?1π

＋α＝，则cos?－2α?等于( ) 2．若sin??4?3?2?4242

A. B．－ 9977C. D．－ 99

π?解析 据已知可得cos??2－2α?＝sin2α ππ7

＋α?＝－?1－2sin2?＋α??＝－. ＝－cos2??4???4??9答案 D

π43π?α＋2π?等于α＋?＋sinα＝－3．(2014·河北衡水一模)已知sin?，－<α<0，则cos3??3??52( )

4

A．－

543C. D. 55

π43π

α＋?＋sinα＝－解析 ∵sin?，－<α<0， ?3?523343∴sinα＋cosα＝－， 225∴

314sinα＋cosα＝－. 225

1

3

B．－ 5

2π2π2π134α＋?＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝. ∴cos?3??33225答案 C

4．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2

π

＋6，C＝，则△ABC的面积是( )

3

93

A．3 B.

233C. D．33 2解析 ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

ππ

∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②

33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 11333∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.

2222答案 C

5．(2014·江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )

A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

解析 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosA·sinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，

π

则有A＋B＝，故三角形为直角三角形．

2答案 D

c－b

6．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c－asinA

，则B＝( )

sinC＋sinB

ππA. B. 64πC. 3

3πD. 4

c－babca

解析 由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得＝?c2－b2＝ac－a2，

2R2R2Rc－ac＋b1π

所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝，故答案为C.

23

2

答案 C 二、填空题

π1

θ＋?＝，则sinθ＋cosθ＝________. 7．设θ为第二象限角，若tan??4?2

π1＋tanθ1110

θ＋?＝解析 tan?＝，解得tanθ＝－，又θ为第二象限角，得sinθ＝，cosθ?4?1－tanθ231031010

＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.

105

答案 －

10

5

1

8．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sinB

4＝3sinC，则cosA的值为________．

解析 由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可． 3

由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.

2111

又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.

424

9223

c＋c－4c2－c2

4b＋c－a41

由余弦定理得cosA＝＝＝2＝－.

2bc33c4

2×c2

2

2

2

2

1

答案 －

4

9．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)

解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．

46根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，

sin67°得

ABBC46

＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)． sin30°sin37°0.92

3

答案 60 三、解答题

π53x＋?，x∈R，且f?π?＝. 10．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin??4??12?2(1)求A的值；

π33

0，?，求f?π－θ?. (2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈??2??4?25π??5π＋π?＝Asin2π＝3， 解 (1)f?＝Asin?12??124?3232

∴A＝·＝3.

23

πx＋?， (2)由(1)得：f(x)＝3sin??4?

ππθ＋?＋3sin?－θ＋? ∴f(θ)＋f(－θ)＝3sin?4??4??ππ

sinθcos＋cosθsin?＋ ＝3?44??3??

－θ

π

＋4

－θ

π?4?

π3

＝23cosθsin＝6cosθ＝ 42∴cosθ＝

π610

0，?，∴sinθ＝，又∵θ∈?. ?2?44

3π?3ππ1030

－θ＝3sin?－θ＋?＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝3×＝∴f?. 4??4??444

→→11．(2014·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC1

＝2，cosB＝，b＝3.求：

3

(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．

→→

解 (1)由BA·BC＝2，得c·acosB＝2， 1

又cosB＝，所以ac＝6.

3

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

??ac＝6解?22，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. ?a＋c＝13?

因a>c，所以a＝3，c＝2.

4

(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝

1?2221－??3?＝3，

c22242

由正弦定理，得sinC＝sinB＝·＝.

b339

因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝ 于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC 17224223

＝·＋·＝. 393927

42?27

1－?＝. ?9?9

B级——能力提高组

1．(2014·重庆卷)已知△ABC的内角A，B， C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－1

B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立

2的是( )

A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162 C．6≤abc≤12

D．12≤abc≤24

1

解析 由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，

21

得sin2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝，

21

所以sin2A＋2sinAcos(B－C)＝. 21

所以2sinA[cosA＋cos(B－C)]＝，

2

1

所以2sinA[cos(π－(B＋C)＋cos(B－C)]＝，

21

所以2sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝，

21

即得sinAsinBsinC＝.

8

1

根据三角形面积公式S＝absinC，①

21

S＝acsinB，② 21

S＝bcsinA，③ 2

1

因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8.将①②③式相乘得1≤S3＝a2b2c2sinAsinBsinC≤8，即

864≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤162，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c>a，得bc(b＋c)>8一定成立，而a＋b>c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于162，

5

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