《概率论与数理统计(本科)》复习题(6)

P p2 2 p(1-p) p2 1-2p

其中p (0?p?1/2) 是未知参数. 利用总体X的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .

67、设随机变量X服从参数为?的指数分布，?为未知参数，求?的极大似然估计量.

????68、设?1及?2为参数?的两个独立的无偏估计量,且假定D(?1)?2D(?2),求常数C1及C2,??C??C?为?的无偏估计,并使得D(??)达到最小. 使得?112269、 设总体X?N(1,?),其中?为未知参数，X1,X2,...,Xn为一个样本，求?的最大似然估计量。

22????x??1,0?x?170、设总体X的概率密度为f(x)??

其它?0,其中??0是未知参数，X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求

1n?（1）?的矩阵估计量?；（2）判断X??Xi是否为?的无偏估计量.

ni?1

四、综合题

1、 假设某山城今天下雨的概率是准确的概率是

123，不下雨的概率是；天气预报准确的概率是，不3341；王先生每天都听天气预报，若天气预报有雨，王先生带伞的概率是1，若41天气预报没有雨，王先生带伞的概率是；试求：

2(1)某天天气预报下雨的概率？(2)王先生某天带伞外出的概率？(3)某天邻居看到王先生带伞外出，求预报天气下雨的概率？

2、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明P(A?B)?P(A)?P(AB)

3、证明：P(AB?AB)?P(A)?P(B)?2P(AB) 4、已知P(A)?111,P(BA)?,P(AB)?,求P(A?B) 4325、已知事件A,B,C相互独立，证明：A?B与C相互独立.

6、设事件A、B满足P(A)?0, P(B)>0，试证明A与B独立和A与B互不相容不可能同时发生。

7、设A,B是两个事件，又设P(A)?p1?0,P(B)?p2?0且p1?p2?1，

证明：P(B|A)?1?1?p2. p1P(B). P(A)8、假设P(A)?0,试证P(B|A)?1?9、 设0?P(B)?1.若P(A|B)?P(A|B)，证明：A与B相互独立.

10、设A,B是任意二事件，其中0?P(A)?1，证明：P(A|B)?P(A|B)是A与B独立的充分必要条件.

11、随机变量X服从区间[1，6]上的均匀分布，求二次方程t?Xt?1?0有实根的概率？ 12、设随机变量X的概率密度为f(x)??2?2x,0

13、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)??12?6x,0?x?y?1， 求

其他?0,（1）X,Y的边缘密度函数； （2）(X,Y)的联合分布函数；（3）P(X?Y?1). 14、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?x2?Axy, f(x,y)???0,0?x?1,0?y?2其他

求（1）A的值；（2）两个边缘概率密度函数。 16、 设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

?e?y,y?0?1,0?x?1 fY(y)??fX(x)??，.

其他?0,?0,其他求随机变量Z?X?Y的概率密度.

17、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Ce?(3x?4y),x?0,y?0 试求： f(x,y)??，0,其他?(1) 常数C； (2) 联合分布函数F(x,y)； (3)P{0?X?1,0?Y?2}. 18、设随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

?Cx2y3,0?x?1,0?y?1试求： f(x,y)??，其他?0,(1) 常数C； (2) X和Y的边缘密度函数；（３）证明X与Y相互独立. 19、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?A(x?y)2, f(x,y)???0,x?1,y?1其他

求（1）A的值；(2)关于X的边缘概率密度函数；（3）P{X?3,Y?}.

20、设二维随机变量?X,Y?是区域D内的均匀分布，D:x2?y2?1．试写出联合概率密度函数，并确定X,Y是否独立？是否相关？

12?8xy , 0?x?1,0?y?x21、设随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??，试求 ：

0 其他?（１）X和Y的边缘概率密度函数； （２）概率P(Y?X)的值。 222、一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知X和Y的联合分布函数为：

?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),x?0,y?0 F(x,y)??0,其他.?(1) 判别X和Y是否独立？ (2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率.

23、设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p)， 试证明随机变量

X?Y与Z相互独立.

24、设(X,Y)的联合分布律

Y X 1 2 -1 1 2 为

0.2 0.3 0.1 0.2 0.1 0.1 试求：（1）关于X和Y的边缘分布的分布律；（2）E(2X?3Y)；（3）D(Y2). 25、设P{X?0}?P{Y?0}?P{X?1}?P{Y?1}?1，两个随机变量X，Y是相互独2立且同分布，求随机变量Z1?max(X,Y),Z2?X?Y的分布律.

?a?bx2， 0?x?11f(x)??26、随机变量X的概率密度，且E?X??，求a,b及分布函

，其它4?0数F?x? ．

27、一辆飞机场的交通车送20名乘客到9个站，假设每名乘客都等可能地在任一站下车，且他们下车与否相互独立，又知交通车只在有人下车时才停车，求该交通车停车次数的数学期望。

?a?bx2,0?x?13，28、设随机变量X的概率密度为f(x)?? 已知E(X)?，试求

5其他?0,(1) a, b的值; (2) D(X).

29、某射手有3发子弹，已知其射中某目标的概率为

1，规定只要射中目标或子弹打完就立8刻转移。记X为转移前射出的子弹数，试求：（1）X的分布列；（2）X的数学期望E(X)。 30、设随机变量X的概率密度函数为

?kx?1,0?x?2 f(x)??其他?0,求：(1)确定常数k；(2) X的分布函数；（3）方差D(X)

x?1?1?e3， x?031、已知随机变量X的概率密度为fX(x)??3， 随机变量Y的概率密度

??0，x?0

?6e?6y， y?0，且X,Y相互独立．试求 fY(x)???0，y?0（1）、X,Y的联合密度函数f?x,y?；（2）P?X?Y?； （３）数学期望Ｅ（XY）。

0x??1??32、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsinx?1?x?1，

?1x?1?试求（1）常数A,B；（2）X的概率密度；（3）Y?2X?1的概率密度. 33、设随机变量X的概率密度为

?e?x, f(x)???0,x?0x?0， 试求：

?X（1）X的分布函数；（2）Y?3X的概率密度函数；（3）Y?e的数学期望。

34、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?2?sinx, f(x,y)?????0,0?x??2其他,0?y??2

求（1）E(x),E(y)，D(x),D(y)；（2）Cov(X,Y)

235、设X?N(?,?)，试证明Y?X???服从标准正态分布N(0,1).

37、设X1,X2,?,Xn1是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，E(X)??,

??2有效. ?1比??2?X1是关于?的无偏估计，并且?D(X)??2.试证明?1?X,??1,1?x???38、 设总体X服从均匀分布，其概率密度为f(x;?)????1 ，?其他?0,求?的矩估计量??，判别??是否为?的无偏估计?

40、设总体X在[a,b]上服从均匀分布,其中a,b为未知参数,又x1,x2,?,xn为样本,求未知参数

a,b的矩估计量.

41、

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