第八章二元一次方程组全章导学案（新人教版七年级下）(2)

8.3实际问题与二元一次方程组（一）

一、学习内容：教材课题 P105

二、学习目标：1、会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活

的联系和作用

2、通过应用题进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性 3、体会列方程组比列一元一次方程容易

三、自学探究：

1、复习旧知：

列方程解应用题的步骤是什么？

审题、设未知数、列方程、解方程、检验并答 2、探究：课本105页探究1

养牛场原有30只大牛和15只小牛，一天约需用饲料675 kg;一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需用饲料18～20 kg,每只小牛1天约需用饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？

问题：1） 题中有哪些已知量？哪些未知量？

2） 题中等量关系有哪些？ 3）如何解这个应用题？ 本题的等量关系是：

解：设平均每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为xkg和ykg 根据题意列方程组，得

解这个方程组得

每只大牛和每只小牛1天各需用饲料为＿＿＿和＿＿＿，饲料员李大叔估计每天大牛需用饲料18—20千克，每只小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入

3、归纳： 实际问题 设未知数 数学问题

列方程组 （二元一次方程组）四、自我检测：

教村p108 习题 1、2、3

五、学习小结：

通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤？ ①设未知数． ②找相等关系． ③列方程组． ④检验并作答．

六、反馈检测

1、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为

2、甲乙两数的和为10，其差为2，若设甲数为x，乙数为y， 则可列方程组为

3、《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

4、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨，求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？

8.3实际问题与二元一次方程组（二）

一、学习内容：教材课题 P106 二、学习目标：

1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型； 2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组； 3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析

三、自学探究

1、复习旧知

1）长方形的面积公式？当宽相同时，面积比等于-------------，

当长相同时，面积比等于---------------

2）回顾列方程解决实际问题的基本思路？ 2、探究：

教材p106 探究2：根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200 m，宽100 m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？

DFCAEB

思考：1、“甲、乙两种作物的单位面积产量比是1：1.5”是什么意思？

2、“甲、乙两种作物的总产量比为3：4”是什么意思？

本题中有哪些等量关系？

解设_____________________________________________， 列方程组：

解这个方程组，得

答：

四、自我检测

教材p108 4、5

五、学习小结：

通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？

六、反馈检测

1、若两个数的和是187,这两个数的比是6:5,则这两个数分别是___________.

2、木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可加工10只椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与4只椅子配套？

3、一外圆凳由一个凳面和三条腿组成，如果1立方米木材可制作300条腿或制作凳面50个，现有9立方米的木材，为充分利用材料，请你设计一下，用多少木材做凳面，用多少木材做凳腿，最多能生产多少张圆凳？

4、某中学组织七年级同学到长城春游,原计划租用45座客车若干辆,但有15?人没有座位;如果租用60座客车,则多出1辆,且其余客车恰好坐满,已知45?座客车日租金为每辆220元,60座客车日租金为每辆300元,试问:(1)七年级人数是多少??原计划租用45座客车多少辆?(2)要使每个同学都有座位,怎样租车更合算?

8.3实际问题与二元一次方程组（三）

一、学习内容：教材课题 P106-107

二、学习目标：

1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型； 2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组； 3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值

三、自学探究

1、小试牛刀：

最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案．

电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时。．28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？

2、探究：

教材106页：探究3：如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地。公路运价为1.5元/（吨·千米）,铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

设问1.如何设未知数？

销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x吨，原料重y吨．

设问2.如何确定题中数量关系？ 列表分析 产品x吨 原料y吨 合计 公路运费（元） 铁路运费（元） 价值（元） 由上表可列方程组

解这个方程组，得

毛利润=销售款－原料费－运输费

因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多________________元．

四、自我检测

教材p108 6、8、9

五、学习小结：

1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？

2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．

六、反馈检测

1、一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用

这两种货车的记录如下表所示． 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第1次 4 5 28.5 第2次 3 6 27 这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元？

2、某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20％，女生减少10％，学生总数增加7. 5％，问现在学校中男、女生各是多少？

3、某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1人～50人 51～100人 100人以上 票价 10元/人 8元/人 5元/人 某校八年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行游园联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人。如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要付515元。问：甲、乙两个班分别有多少人？

4、甲运输公司决定分别运给A市苹果10吨、B市苹果8吨，但现在仅有12吨苹果，还需从乙运输公司调运6吨，经协商，从甲运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，问如何进行调运？

8、4三元一次方程组解法举例

一、学习内容：教材p111-113 8、4三元一次方程组解法举例

二、学习目标：1、了解三元一次方程组的定义；

2、掌握三元一次方程组的解法； 3、进一步体会消元转化思想．

三、自学探究：

1．复习导入

（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ （2）解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2、探究：

甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数． 思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？

这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．

思考：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？

??x?y?z?12,① ?x?2y?5z?22,?② ?x?4y.③

有几种解法？ 3、归纳：

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．即

消元 消元 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程

问题1：解三元一次方程组

??3x?4z?7① ?2x?3y?z?9 ② ??5x?9y?7z?8③

问题2 在等式y?ax2?bx?c中，当x＝－1时y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60．求

a、b、c的值．

分析：把a，b，c看作三个未知数，分别把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一个三元一

次方程组．

四、自我检测

教材p114 练习1、2

五、学习小结

1． 三元一次方程组的解法； 2、解多元方程组的思路――消元

3、解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．

4、注意检验

六、反馈检测

教材p 114-115 习题8、4

实际问题与二元一次方程组分类练习

知能点1 销售和利润问题

1．某商场为迎接店庆进行促销，羊绒衫每件按标价的八折出售，每件将赚70元，?后因库存太多，每件羊绒衫按标价的六折出售，每件将亏损110元，则该商场每件羊绒衫的进价为_____，标价为_______．

2．某种彩电原价是1 998元，若价格上涨x%，那么彩电的新价格是______元；若价格下降y%，那么彩电的新价格是_______元．

3．某商店经销一种商品，由于进价降低了5%，出售价不变，使得利润由m%提高到（m+6）%，则m的值为（ ）．

A．10 B．12 C．14 D．17

4．在我国股市交易中，每买一次要交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海股票1 000股，当该股票涨到12元时全部卖出，?该投资者的实际赢利为（ ）． A．2 000元 B．1 925元 C．1 835元 D．1 910元

5．某商场欲购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品每件进价为35?元，?利润率是20%，乙种商品每件进价为20元，利润率是15%，共获利278元，则甲、?乙两种商品各购进多少件？

◆知能点2 利率、利税问题

6．某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲、?乙两种存款的年利率分别为1.4%和3.7%，该公司一年共得利息（不计利息税）6 250?元，?则甲种存款______， 乙种存款______． 7．某人以两种形式一共存入银行8 000元人民币，其中甲种储蓄的年利率为10%，乙种储蓄的年利率为8%，一年共得利息860元，若设甲种存入x元，乙种存入y元，根据题意列方程组，得_________． 8．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2．25万元，?甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少．?若设甲、乙两种贷款的数额分别为x万元和y万元，则（ ）．

A．x=15，y=20 B．x=12，y=23 C．x=20，y=15 D．x=23，y=12

◆开放探索创新

9．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元，若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，?请你研究一下商场的进货方案．

◆中考真题实战

10．（重庆）为了解决农民工子女入学难的问题，?我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5 000?名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005?年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样2005?年秋季将新增1 160名农民工子女在主城区中小学学习．如果按小学生每年的“借读费”500?元，中学生每年的“借读费”1000元计算，求2005年新增的1 160名中小学生共免收多少“借读费”．

11．（南通）张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封共30个，其中买A?型号的信封用了1元5角，买B型号的信封用了1元2角，B型号的信封每个比A型号的信封便宜2分，则两种型号信封的单价各是多少元？

知能点1 行程问题

1．甲、乙两人相距45km，甲的速度是7km/h，乙的速度为3km/h，两人同时出发，（1）若同向而行，甲追上乙需_______h；（2）若相向而行，甲、乙需______h相遇；（3）若同向而行，乙先走1h，甲再追乙，经过______h甲可追上乙．

2．两人在400m的圆形跑道上练习赛跑，方向相反时每32s相遇一次，?方向相同时每3min相遇一次，若设两人速度分别为x（m/s）和y（m/s）（x>y），?则由题意列出方程组为_________． 3．A，B两地相距20km，甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，经过2h相遇，相遇后，甲立即返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2km，则两人的速度分别为________． 4．一只船在一条河上的顺流速度是逆流速度的3倍，则这只船在静水中的速度与水流速度之比为：_________．

5．已知某铁路桥长800m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45s，整列火车完全在桥上的时间是35s，求火车的速度和长度．

知能点2 配套问题

6．张阿姨要把若干个苹果分给小朋友们吃，若每人2个，则多1个；若每人3个，?则缺2个，苹果有_______个，小朋友有_______个．

7．两台拖拉机共运水泥35t，其中一台比另一台多运7t，?则这两台拖拉

机分别运送了水泥_______t和_________t．

8．如图所示，周长为34的长方形ABCD被分成7个大小完全一样的小长方形，?则每个小长方形的面积为（ ）．

A．30 B．20 C．10 D．14

9．一个长方形周长为30，若它的长减少2，宽增加3，就变成了一个正方形，设该长方形长为x，宽为y，则可列方程组为（ ）．

A.??2(x?y)?30B.??x?2?y?3?x?y?30?x?2?y?3C.??30?x?y?x?2?yD.??x?y?15?3?y?3 ?x?210．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，?一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

◆规律方法应用

11．用白铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或8个桶底，而1个桶身1?个桶底正好配套做1个水桶，现在有63张这样的铁皮，则需要多少张做桶身，多少张做桶底正好配套？

12．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．?已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：

第一次 第二次 甲货车辆数（单位：辆） 2 5 乙货车辆数（单位：辆） 3 6 累计运货吨数（单位：吨） 15.5 35 现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，?如果按每吨付运费30元计算，

则货主应付运费多少元？

◆开放探索创新

13．小颖在拼图时发现8个一样大小的矩形，恰好可以

拼成一个大的矩形，?如图（1）所示．小彬看见了，说：“我来试一试”．结果小彬七拼八凑，拼成如图

（2）那样的正方形．中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形． 你能帮他们解开其中的奥秘吗？

◆中考真题实战

14．（长沙）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554台，其中甲种机器要比第一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产20%，该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？

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