高中物理平抛运动经典例题

[例1] 如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过对面比A处低

，摩托车的速度至少要有多大？

的壕沟，沟面

图1

解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间

在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为

2. 从分解速度的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。

[例2] 如图2甲所示，以9.8m/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为

的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是（ ）

A. B. C. D.

图2

解析：先将物体的末速度

分解为水平分速度

和竖直分速度

（如图2乙所示）。

；又因为

与

根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以斜面垂直、

与水平面垂直，所以

与

间的夹角等于斜面的倾角。再根据平抛运动的

就可以求出时间了。则

分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据

所以

根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出

所以

所以答案为C。

3. 从分解位移的角度进行解题

对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫做“分解位移法”） [例3] 在倾角为

的斜面上的P点，以水平速度

向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上。

；水平方向上的位移为

。

的Q点，证明落在Q点物体速度位移法”可得，竖直方向上的位移为

又根据运动学的规律可得

竖直方向上水平方向上

，

解析：设物体由抛出点P运动到斜面上的Q点的位移是，所用时间为，则由“分解

则

所以Q点的速度

，

[例4] 如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为和阻力，则A和B两小球的运动时间之比为多少？

同时水平向左与水平向右

，小球均落在坡面上，若不计空气

图3

解析：和方法可以得到

都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的

所以有

同理

则

4. 从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解

在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分析。 [例5] 某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知

，

，

，求

。

图4

解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀速直线运动，可设A到B、B到C的时间为T，则

又竖直方向是自由落体运动， 则

代入已知量，联立可得

5. 从平抛运动的轨迹入手求解问题

[例6] 从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为。两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

图5

解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析，问题的求解会很容易，如图5所示，物体从A、B两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在

，

轴上的抛物线，即可设A、B两方程分别为

则把顶点坐标A（0，H）、B（0，2H）、E（2，0）、F（，0）分别代入可得方程组

这个方程组的解的纵坐标

6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题 [例7] 如图6所示，在倾角为的斜面上以速度

水平抛出一小球，该斜面足够长，则从

抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？

，即为屏的高。

图6

解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。

取沿斜面向下为轴的正方向，垂直斜面向上为上，小球做初速度为

、加速度为

① ②

当时，小球在轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。 由①式可得小球离开斜面的最大距离

轴的正方向，如图6所示，在

轴

的匀变速直线运动，所以有

当

时，小球在

轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开

斜面最大距离的时间。由②式可得小球运动的时间为

7. 利用平抛运动的推论求解

推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。 [例8] 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为

？

和

，初

图7

解析：设两小球抛出后经过时间，它们速度之间的夹角为别为

和

，与竖直方向的夹角分

和

，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得

又因为

，所以

由以上各式可得，解得

推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形

[例9] 宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为，若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。

解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为，竖直位移为，如图8所示，构建位移矢量直角三角形有

若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9所示有，

由以上两式得

，由平抛运动的规律得

令星球上重力加速度为

由万有引力定律与牛顿第二定律得

由以上各式解得

推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

证明：设平抛运动的初速度为，经时间后的水平位移为，如图10所示，D为末速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有

水平方向位移竖直方向

和

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