初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)(2)

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室

2.若p为质数，p3?5仍为质数，则p5?7为（ ）．

Ａ.质数 Ｂ.可为质数，也可为合数 Ｃ.合数 Ｄ.既不是质数，也不是合数 答：C

3. 小于100的质数共__ _个，它们是____________________ ______________． 答：25；2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、

67、71、73、79、83、89、97 4.能整除3?5的最小质数是 .

答： 2

5．己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿． 答：2,9

6.己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿． 答：2,43

7.如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿．

如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿． 三个质数之和为86，那么这三个质数是 . 答：1和19 3和5 2，3，71

8.两个质数x和y，己知xy?91,那么x? ，y? 或x? ，y? ． 答：7、13和13、7

9.p是质数，并且p6?3也是质数，则p3?5＝ ． 答： 13

1115pp?qq10. 若p,q为质数，m,n为正整数，p?m?n，q?mn，则m＝ ．

m?nn答：(19).

31 511. 已知三个质数a,b,c满足a?b?c?abc?99，那么a?b＋b?c＋c?a的值等于 ． 答：34

12.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是 . 答：29

13.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是 ．

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答：（3）374

14.已知a是质数，b是奇数，且a?b＝2007，则a?b＝ ． 答：（4）2005

15.试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数 ． 答：25、26、27、28

16.设p (p?5)是质数，并且2p?1也是质数．求证：4p?1是合数

证明：由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形

式，k是正整数．

若p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾． 所以p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数． 17.设a、b、c、d是四个整数，且使得m=(ab+cd)2-2122222(a+b-c-d)是一个非零整数，求4证：|m|一定是个合数． 解：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p?q，p?q均为大于1的正整数即可． 12222 (a+b-c-d) 411=[ab+cd+(a2+b2-c2-d2)][ab+cd-(a2+b2-c2-d2)] 221=[2ab+2cd+a2+b2-c2-d2][2ab+2cd-a2-b2+c2+d2] 41=[(a+b)2-(c-d)2][(c+d)2-(a-b)2] 41=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b) 41因为m是非零整数，则(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)是非零整数． 4证明：m=(ab+cd)2-由于四个数a+b+c-d，a+b-c+d，a-b+c+d，-a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除， 所以四个数均为偶数． 所以可设a+b+c-d=2m1，a+b-c+d=2m2，a-b+c+d=2m3，-a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数． 所以m=1（2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4， 4所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0， 所以|m|是一个合数．

问题研究1：写出100以内的素数：2,3,5,7，97，我们发现素数比3的倍数小1或大1，这种模式能延续下去吗？说说你的研究结论。

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