初中数学竞赛讲座——数论部分3(素数与合数)

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第三讲 素数与合数

一、基础知识：

对于任意正整数n>1，如果除1和n本身以外，没有其它的因数，那么称n为素数，否则n称为合数。这样，我们将正整数分为了三类：1，素数，合数。

例如：2，3，5，7，11，…都是质数。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。

质数p和a互质，必要而且只要p| a事实上，若p|a，则p和a除±1外还有公因数\\±p，故二者不互质。若p| a，则±p当然就不是p,a的公因数；但除了±p，只有±1才可\\能是p的因数，所以只有±1才可能是p，a的公因数，即二者互质。显然任意两个不同的质数互质。

质数的性质

性质1．素数中只有一个数是偶数，它是2.

性质2．设n为大于1的正整数，p是n的大于1的因数中最小的正整数，则p为素数。 性质3．设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1 外最小正因数q 是一质数，并且当a 是合数时，q?a 证明： 假设q不是质数，则由定义可知q除1及本身以外还有一正因数，设它为b，因而1

当a是合数时，则a=c·q 且c>1，否则a是质数。由于q是a的除1外的最小正因数，所以q小于等于c ，q2?qc=a 故q?a。

a的某些质数的倍数。换言之，

说明：此性质表明，一个合数a一定是不大于如果所有不大于

。a的质数都不能整除a，那么a一定是质数（作为性质4如下）

此性质是我们检验一个数是否为素数的最常用的方法。例如判断191是不是素数。因为不大于191<14的素数有2,3,5,7,11,13，由于191不能被2,3,5,7,11,13整除，所以191是质数。

这种方法还可以求不大于a的所有素数，例如，求50以内的全体素数。由于不大于50<8的质数有：2,3,5,7，可以在2,3,4,

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,50中依次划去2,3,5,7的倍数（保

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留2,3,5,7）最后余下的数就是50以内的全体质数。这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法。

性质4．如果对任意1到a之间的素数p，都有p|a，那么a为素数，这里a（a>1）为正整数。

证明：事实上，若a为合数，则可写成a?pq，2?p?q，因此p2?a，即p?a， 这表明p的素因子?a，且它是a的因数，与条件矛盾。因此a为素数。

性质5．质数的个数是无穷的

证明：（利用反证法）假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p ，设q为所有素数之积加上1，那么，q =( 2 * 3 * 5 * …… * p )+ 1不是素数，那么，q可以被2、3、……、p中的数整除，而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。

所以，素数是无限的。 二、典型问题：

例1．设p，q，r都是素数，并且p?q?r,p?q，求p

解：由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p,q为一个奇数和一个偶数。因为p

思考：当p=2时，r=2+q，满足r=2+q的两个素数叫做孪生素数，请写出前十对孪生素数。 例2.设a,b,c均为素数，且a+b?c?68，ab?bc?ca?1121，求abc的值。 分析：要求abc的值，不一定要把a,b,c都求出来。注意到3个质数的和a+b?c?68是偶数，所以a,b,c中必然有一个是偶数，它只能是2，代入第二个等式，便可求出另两个数的乘积。

解：不妨设a?b?c

由a+b?c?68，得a=2，则b?c?66，代入a(b?c)?bc?1121，得bc=989，故abc=1978 例3 解方程：x(x?y)?z?120，其中x,y是素数，z是奇素数。

解：因为z是奇数，所以z+120是奇数，所以x和x+y均为奇数，所以y=(x+y)-x为偶数。 又y为质数，所以y=2，所以x(x+2)=z+120

所以x?2x?120?z，即(x?12)(x?10)?z，又z为质数，且x-10

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?x?10?1所以?，所以x=11，z=23

x?12?z??x?11?故方程的解为?y?2

?z?23?n3?1例4.若n是正整数，且是一个素数，求n的值。 5n3?1(n?1)(n2?n?1)解：因为=是一个质数，所以5|(n-1)(n2+n+1) 55所以5|(n-1)，或5|(n2+n+1)，若5|(n2+n+1)，因为n>1，所以n2+n+1?22+2+1>5

(n?1)(n2?n?1)又是一个质数，所以n-1=1，即n=2，但此时n2+n+1=7，与5|(n2+n+1)5矛盾。

所以5|(n-1)，又n2+n+1>1，所以n-1=5，即n=6

n3?1此时=43是质数，综上所述n=6 5例5 设n为正整数，且n与5n+3均为素数，求证：5n+4n?1也是素数。 证明：若n为奇质数，则5n2为奇数， 所以5n+3为偶数。

又因为n为正整数，显然5n+3>2

所以5n+3为合数，这与5n+3为质数矛盾。 所以n为偶质数，即n=2

当n=2时，5n?4n?1=29为质数。

例6 设p，p+10，p+14都是素数，试确定所有的p。 解：设p=3k+r(r=0,1,2)

(1)当r=1时，p=3k+1，则p+14=3k+1+14=3(k+5)，为合数，与条件矛盾； (2)当r=2时，p=3k+2，则p+10=3k+2+10=3(k+4)，为合数，与条件矛盾； 由(1)(2)可知，要使p，p+10，p+14都是素数，只能r=0，即p=3k，

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此时，当且仅当k=1时，p=3为素数，此时p+10=13，p+14=17也都是素数，所以满足条件。故满足题意的p只有3。

说明：质数被2除，除2外，只能是2k+1型的数；质数被3除，除3外，只能是3k+1与3k-1型的数；以此类推，特别地，质数被6除，只能是6k+1和6k-1型的数。 例7 若p和p+2都是大于3的素数，求证：p+1是合数，且6是它的一个约数。

分析：由6是p+1的一个约数，提示我们应将质数p被6除，分为两类，即6k+1和6k-1型的数

证明：因为整数被6除可分为6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k-2,6k-1这6类， 其中质数p只能是6k+1和6k-1型的数

若p=6k+1，则p+2=3(2k+1)是合数，不合题意；

所以p=6k-1，这时p+1=6k是合数，且6是它的一个约数。 例8 设m为正整数，且1?2?3??(m?1)?1被m整除，求证：m为质数。

?(m?1)中含有因

证明：假设m为合数，令m=pq(1

证明：n?4=n?4n?4?4n=(n2?2)2?(2n)2=(n2?2n?2)(n2?2n?2) 因为n2?2n?2?n2?2n?2?(n?1)2?1?1 所以n?4是合数。

例10 若x1,x2为正整数，且x1?x2?a，x1x2?1?b，求证：a?b为合数。 分析：将a?b用x1，x2的代数式表示，再化为两个大于1的正整数之积。

222222证明：a?b=(x1+x2)2+(1-x1x2)2=x1?x2?x1x2?1=(x1?1)(x2?1)

2222224444224因为x1，x2是正整数，所以x1?1?1,x2?1?1 所以a?b为合数。 例11 给定下表： 1 4 7 10 13 4 9 14 19 24

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求证：（1）若N在表中，则2N+7不是素数；

（2）若N不在表中，则2N+7是素数。

证明：由观察可知，表中第m行、第n列处的数为n(2m+1)+m-3

（1）若N为表中第m行、第n列处的数，则2N+7=2[n(2m+1)+m-3]+7=(2n+1)(2m+1) 因为mm?1,n?1，所以2n+1?1，2m+1?1，所以2N+7不是素数

（2）设2N+7=pq，p>1，q>1，则p,q必为正奇数，令p=2n+1，q=2m+1 所以2N+7=pq=(2n+1)(2m+1)，N=n(2m+1)+m-3 显然N为表中第m行、第n列处的数。

例12 是否存在连续四个正整数，它们均为合数？若存在，求出其中最小的一组数；若不存在，说明理由。

分析：连续四个正整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，一个是4的倍数。 解：设n=1?2?3?4，则n，n+1，n+2，n+3对应的值24,25,26,27是四个连续正整数，它们均为合数，且是最小的一组。

说明：如果不要求最小的一组，设n=2?3?4?5，则n+2，n+3，n+4，n+5分别含有约数2,3,4,5，故它们是四个连续的合数，所以符合条件的合数有无数多组。

例13.现有41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问： （1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ （2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？ 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由． 解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．

（2）不能办到．若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．

（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．） 三、模拟训练

1. 有下列４种说法：（１）两个质数的和必是质数；（２）两个合数的和必是合数；（３）

一个质数与一个合数的和必是质数；（４）一个质数与一个合数的和必是合数。其中正确的说法的个数有（ ）.

A．0 B．1 C．2 D．4 答：A

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