小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)(3)

A9214BEDA921CBO4

DEC【分析】 连接AE．

由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．

根据蝴蝶定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?4?9?36，故S?OCD2?36， 所以S?OCD?6(平方厘米)．

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单

位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．

A8162BEDA816CBO2EDC【解析】 连接AE．

由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S?OCD?S?OAE．

根据蝴蝶定理，S?OCD?S?OAE?S?OCE?S?OAD?2?8?16，故S?OCD2?16，所以S?OCD?4(平方厘米)．

11另解：在平行四边形ABED中，S?ADE?SABED???16?8??12(平方厘米)，

22所以S?AOE?S?ADE?S?AOD?12?8?4(平方厘米)，

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8?2?4?4(平方厘米)．

【例 20】 如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，?DEF的面积是5平方厘米，?CED的面积是

10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

AF5E10DAF5E10DBC

【分析】 连接BF，根据梯形模型，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平

方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10?10?5?20(平方厘米)，所以长方形的面积为?20?10??2?60(平方厘米)．四边形ABEF的面积为60?5?10?20?25(平方厘米)．

【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，?DEF的面积是4平方厘米，?CED的面积是6平

方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

CB4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 11 of 17

AF4E6DAF4E6DBC

【解析】 (法1)连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF的面积和三角形DEC的面积

相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为6?6?4?9(平方厘米)，所以长方形的面积为?9?6??2?30(平方厘米)．四边形ABEF的面积为30?4?6?9?11(平方厘

米)．

(法2)由题意可知，

BCEF42EDEF2??，根据相似三角形性质，??，所以三角形BCE的面积为：EC63EBEC32?9(平方厘米)．则三角形CBD面积为15平方厘米，长方形面积为15?2?30(平方厘米)．四3边形ABEF的面积为30?4?6?9?11(平方厘米)． 6?

【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB

的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？

AOBECD

【解析】 因为连接ED知道△ABO和△EDO的面积相等即为54，又因为OD∶OB=16∶9,所以△AOD的面积

为54?9?16?96，根据四边形的对角线性质知道：△BEO的面积为：54?54?96?30.375，所以四边形OECD的面积为：54?96?30.375?119.625(平方厘米).

【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．

AE25O8DF?BAE25O8F?BD

【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以S?EOD?SC

FOC，又根据蝴蝶定理，

CS?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD，所以S?EOD?S?FOC?S?EOF?S?COD?2?8?16，所以S?EOD?4(平方厘米)，S?ECD?4?8?12(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12?2?24平方厘米，四边形OFBC的面积为24?5?2?8?9(平方厘米)．

【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是 ．

4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 12 of 17

ADADOO

BEC

AOBBEC【解析】 解法一：连接DE，依题意S则SAOD11??BO?AO??9?AO?54，所以AO?12， 22

11??DO?AO??16?12?96． 2213又因为SAOB?SDOE?54??16?OE，所以OE?6，

241133得SBOE??BO?EO??9?6?30，

224835所以SOECD?SBDC?SBOE?SABD?SBOE??54?96??30?119．

8816 解法二：由于SAOD:SAOB?OD:OB?16:9，所以SAOD?54??96，而SDOE?SAOB?54，根据

93蝴蝶定理，SBOE?SAOD?SAOB?SDOE，所以SBOE?54?54?96?30，

835所以SOECD?SBDC?SBOE?SABD?SBOE??54?96??30?119．

88

【例 23】 如图，?ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形

DEFG的面积48，AK:KB?1:3，则?BKD的面积是多少？

DKBEAGDKAGFCBEMFC

【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，?BDK和

?ACK的面积是相等的．而AK:KB?1:3，所以?ACK的面积是?ABC面积的

11那么?BDK?，

1?341． 4由于?ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM?DE，可见?ABM和?ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以?ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．

1那么?BDK的面积为48??12．

4的面积也是?ABC面积的

【例 24】 如图所示，ABCD是梯形，?ADE面积是1.8，?ABF的面积是9，?BCF的面积是27．那么阴

影?AEC面积是多少？

AEFD

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到S?AFB?S?DFC?S?AFD?S?BFC，而S?AFB?S?DFC(等积变换)，所以可得

4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 13 of 17

BCS?AFD?S?AFB?S?CDF9?9??3，

S?BFC27并且S?AEF?S?ADF?S?AED?3?1.8?1.2，而S?AFB:S?BFC?AF:FC?9:27?1:3，

所以阴影?AEC的面积是：S?AEC?S?AEF?4?1.2?4?4.8．

【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？

2124421

【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

88六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积?6?．

183

【例 26】 如图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分

组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？

2A③①④F⑥②⑤B

【解析】 因为E是DC中点，F为AC中点，有AD?2FE且平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形

ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=AD2： FE2=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6?(4?1)?2，②=⑤?4?8，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8?4?4?2?18．有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，

444即为1:4．所以ADC面积为梯形ADEF面积的=，即为18??24．因为D是BC中点，所

4-133以ABD与ADC的面积相等，而ABC的面积为ABD、ADC的面积和，即为24?24?48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．

【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，

现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．

DEC

【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况．

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6?1.5?2?4?2?2?22，阴影部分的面积为6?6?22?14．

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，

4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 14 of 17

上底、下底之比为2:6?1:3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

9比为12:1?3:1?3:32?1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的，阴影部分的面

1677积占该梯形面积的，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的，那么阴影部分的面积为

16167?(62?22)?14． 16

【例 28】 如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE?2BE，CF?2DF，连接BF、

DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为

S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1:S2?___________．

AQDFAQDFMGNMGN 【解析】 连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，则CE?CF?2，BE?DF?1，所以，EF2?22?22?8，

BD2?32?32?18．因为EF2?BD2?8?18?144?122，所以EF?BD?12．由梯形蝴蝶定理，得

S△GEF:S△GBD:S△DGF:SnBGE?EF2:BD2:EF?BD:EF?BD?8:18:12:12?4:9:6:6，

669所以，S△BGE?S梯形BDFE?S梯形BDFE．因为S△BCD?3?3?2?，S△CEF?2?2?2?2，

4?9?6?62525653所以S梯形BDFE?S△BCD?S△CEF?，所以，S△BGE???．

225253669由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN??2?1?，ND?3??，

555522所以AM:CN?DN:CN?3:2，则S1:S2?AM:CN?9:4．

BEPCBEPC

【例 29】 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD?2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，

已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 平方厘米．

AEMBFEAMBFNDCDNC

【解析】 连接EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积．

13设梯形ABCD的上底为a，总面积为S．则下底为2a，EF??a?2a??a．

2233所以AB:EF?a:a?2:3，EF:DC?a:2a?3:4．

22由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以

3??3??S梯形ABFE:S梯形EFCD??AB?EF?:?EF?DC???a?a?:?a?2a??5:7，

2??2??4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 15 of 17

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