小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)(2)

?3?2009??1???1148(平方厘米)．

?7?

4-2-3 任意四边形、梯形与相似模型 题库 page 6 of 17

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

AS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 11】 如图，S2?2，S3?4，求梯形的面积．

2S1S2S3S4

【解析】 设S1为a份，S3为b份，根据梯形蝴蝶定理，S3?4?b2，所以b?2；又因为S2?2?a?b，所以

22a?1；那么S1?a2?1，S4?a?b?2，所以梯形面积S?S1?S2?S3?S4?1?2?4?2?9，或者根

据梯形蝴蝶定理，S??a?b???1?2??9．

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已

知△AOB与△BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

22A25O35BD 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SCAOB

BOC:S?a2:ab?25:35，可得a:b?5:7，再根据梯形蝴蝶定理，

DOCSAOB:SDOC?a2:b2?52:72?25:49，所以S25?35?35?49?144(平方厘米)．

?49(平方厘米)．那么梯形ABCD的面积为

【例 12】 梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角

2形BOC面积的，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

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ADOCB 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC?ab:b2?2:3，可以求出a:b?2:3，

再根据梯形蝴蝶定理，SAOD:SBOC?a2:b2?22:32?4:9．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO?1，并且

三角形ABD的面积3?，那么OC的长是多少？

三角形CBD的面积5BAOC

三角形ABD的面积AOAO35?【解析】 根据蝴蝶定理，，所以?，又AO?1，所以CO?．

三角形CBD的面积COCO53

【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？

DADOBC

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，a:b?1:1.5?2:3，S?AOD:S?BOC?a2:b2?22:32?4:9，

所以S?AOD?4cm2．

【巩固】如图，梯形ABCD中，?AOB、?COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．

??ABOD【解析】 根据梯形蝴蝶定理，SAOBC:S?a2:b2?4:9，所以a:b?2:3，

3SAOD:SAOB?ab:a2?b:a?3:2，SAOD?SCOB?1.2??1.8，

2 S梯形ABCD?1.2?1.8?1.8?2.7?7.5．

ACOD

【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．

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AGDFBHCAGDFBHCEE

【解析】 如图，连结EF，显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面

积等于三角形ADG的面积；三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积是11?23?34．

【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2

的面积为36，则三角形1的面积为________．

123123

【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角

45形3，所以1的面积就是36??16，3的面积就是36??20．

4?54?5

【例 16】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

BCGAD

【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC?1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道

设S△AGM?1份，则S△MCD?1?2?3 份，S△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG?12（:1?2）（:1?2）:22?1:2:2:4，

所以正方形的面积为1?2?2?4?3?12份，S阴影?2?2?4份，所以S阴影:S正方形?1:3，所以S阴影?1平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．

MADF

2【解析】 连接DE，根据题意可知BE:AD?1:2，根据蝴蝶定理得S梯形?（1?2）?9(平方厘米)，S△ECD?3(平

方厘米)，那么SABCDBEC?12(平方厘米)．

【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．

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ABODEFC

【解析】 因为E,F是DC边上的三等分点，所以EF:AB?1:3，设S△OEF?1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

因此正方形的面积为4?4?(1?3)2?24S△AOE?S△OFB?3份，S△AOB?9份，S△ADE?S△BCF?(1?3)份，份，S阴影?6，所以S阴影:S正方形?6:24?1:4，所以S阴影?3平方厘米．

【例 18】 如图，在长方形ABCD中，AB?6厘米，AD?2厘米，AE?EF?FB，求阴影部分的面积．

AEOFBAEOFB

【解析】 方法一：如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为

2?6?3?2?2平方厘米．

3?AS?2由于EF:DC?1:3，根据梯形蝴蝶定理，SDEO:SEFO?3:1，所以SDEO?SDEF，而SDEFDE43平方厘米，所以SDEO??2?1.5平方厘米，阴影部分的面积为2?1.5?3.5平方厘米．

4方法二：如图，连接DE，FC，由于EF:DC?1:3，设S△OEF?1份，根据梯形蝴蝶定理，S△OED?3

份，S梯形EFCD?(1?3)2?16份，S△ADE?S△BCF?1?3?4份，因此S长方形ABCD?4?16?4?24份，S阴影?4?3?7份，而S长方形ABCD?6?2?12平方厘米，所以S阴影?3.5平方厘米

DCDC

【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的

面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．

AODAODBCEBCE【解析】 连接AC．

由于ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，所以CE:AD?2:3，

根据梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD?22:2?3:2?3:32?4:6:6:9，所以S米)，SAOD?9(平方厘米)，又S方厘米)．

ABC

?SACD?6(平方厘

?6?9?15(平方厘米)，阴影部分面积为6?15?21(平

AOC

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部

分的面积是 平方厘米．

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