广东揭阳市2011届高三上学期学业水平考试数学理(3)

分

22?(n?1)?[1?()n?1]

3322n?1∴bn?b1?(n?1)?[1?()]

332bn?(n?1)?()n-------------------------------------------------------------------------------------6

3分

∴an?3nbn?2n?(n?1)3n------------------------------------------------7分

2解法3：∵a2?3a1?32?2?3---------------------------------------------------------------1?22，

分

a3?3(32?22)?33?22?2?33?23，--------------------------------------------------------2分 a4?3(2?33?23)?34?23?3?34?24．----------------------------------------------------3分

由

此

可

猜

想

出

数

列

?an?的通项公式为

an?(n?1)3n?2n．---------------------------------------4分

以下用数学归纳法证明．

①当n?1时，a1?2，等式成立．

②假设当n?k（k?N,k?2）时等式成立，即ak?(k?1)3k?2k， 那么ak?1?3ak?3k?1?2k?3[(k?1)3?2]?3kkk?1??2k

?[(k?1)?1]3k?1?2k?1．----------------------------------------------------------------------6分

这就是说，当n?k?1时等式也成立．根据①和②可知，等式an?(n?1)3?2对任何

nnn?N?都成立．-----------------------------------------------------------------7分

（2）令Tn?3?2?3?3?3???(n?2)3234n?1?(n?1)3n，----------①--------------8分

3Tn?33?2?34?3?35???(n?2)3n?(n?1)3n?1 -----------------②------9分

①式减去②式得：

广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理） 第 11 页 共 4 页

?2Tn?3?3???3?(n?1)323nn?13n?1?32??(n?1)?3n?1，-----------------10分

2(n?1)3n?13n?1?32(2n?3)?3n?1?9??∴Tn?．--------------------------------12分 244∴数列?an?的前n项和

(2n?3)3n?2?9n?1(2n?3)3n?1?2n?3?1Sn??2?2?．------14分

4421．解：（1）若a?1,b??1，则f(x)?(x2?x?1)ex

有f?(x)?(2x?1)ex?(x2?x?1)ex?ex(x2?3x)

令f?(x)?0得x1??3,x2?0-------------------------------------------1分

,?3))f'(x)?0，当x?(0,??)时，∵当x?(??时f'(x)?0，当x?(?3,0时f'(x)?0

∴当x??3时,函数f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(?3)?5，--------------------2分 3e当x?0时，函数f(x)有极小值，f(x)极小值?f(0)??1 -------------------------3分 （2）∵2a?b??3 即 b??2a?3

又f?(x)?(2x?a)e?(x?ax?b)e?e[x?(2?a)x?(a?b)] ∴f?(x)?e[x?(2?a)x?(?3?a)]＝

x2x2xx2ex(x?1)[x?(3?a)]--------------------------------5分

当?3?a?1即a??4时，f'(x)?e(x?1)?0

∴函数f?x?在(??,??)上单调递增；---------------------------------------6分

广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理） 第 12 页 共 4 页

x2当?3?a?1，即a??4时，由f?(x)?0得x??3?a或x?1，

由f?(x)?0得1?x??3?a；-----------------------------------------------------------7分

当?3?a?1，即a??4时，由f?(x)?0得x??3?a或x?1，

由f?(x)?0得?3?a?x?1；-------------------------------------------------8分 综上得：当a??4时，函数f?x?在(??,??)上单调递增；

当a??4时，函数f?x?在(??,1)和(?3?a,??)上单调递增，在(1,?3?a)上单调递减-9分

当a??4时,函数f?x?在(??,?3?a)和(1,??)上单调递增，在(?3?a,1)上单调递减．---10分

（3）根据题意g(x)?|f(x)|2＝|x?ax?b|， xe∵g(x)在[?1,1]上的最大值为M，

∴g(?1)?M,g(0)?M,g(1)?M

即|1?a?b|?M,|b|?M,|1?a?b|?M --------------------------------------12分 2＝|(1?a?b)?(1?a?b)?2b|?|1?a?b|?|1?a?b|?|2b|?4M

∴M?

1 ---------------------------------------------14分（其它解法请参照给分） 2广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理） 第 13 页 共 4 页

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