广东揭阳市2011届高三上学期学业水平考试数学理(2)

3解法2：从正方体的8个顶点中任取3个有C8?56种取法，可构成的三角形有56种可

能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率：P?二、填空题：

9．?P:?x?R,x2?1?2x、真；10．

56?86?,选 567D．

110004?cm3；11．；12．（0，1）、?1?a?3； 3513．cos?2n?1cos2?n?1?cos?n，n?N?．14．4x?9y?7?0；15．15． 2n?12n?12210．该几何体为圆柱上面叠一半球，其体积V???10?30?11．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：

211000??103??cm3 33S?0?1111111111114????1????????1??． 1?22?33?44?52233445552212．题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆(x?a)?y?2a?4的圆心的距离不超过半径，解得?1?a?3． 14．曲线C普通方程为y?22114x?1，则切点坐标为(1,)，由y'?x得切线斜率 999k?y'|x?1?4，故所求的切线方程为4x?9y?7?0． 915．依题意，BC?232?22三、解题题：

??22=2，?AC?5，由AD?AB.AC=15，得AD=15

y2PX31sin?x?cos?x) 16．解：（1）∵f(x)?3sin?x?cos?x=2(22

=2sin(?x?MOAN?6)------------------------------------4分

∵x?R ∴?1?sin(?x??6)?1，

∴函数f(x)的最大值和最小值分别为2，-2．---------------6分

广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理） 第 6 页 共 4 页

（2）解法1：令f(x)?2sin(?x??k?,k?Z,

661515∵x?[?1,1] ∴x??或x? ∴M(?,0),N(,0), -----------------------8分

6666?11由sin(?x?)?1，且x?[?1,1]得x? ∴P(,2),-----------------------------9分

633?????????11∴PM?(?,?2),PN?(,?2),从而

22??????????????????15PM?PN??????．--------------------------------------------------12分 ∴cos?PM,PN??????|PM|?|PN|17解法2：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?2,由三角函数的性质知|MN|?分

?)?0得?x??1T?1,---82117,------------------------------------------------------------9分 |PM|?|PN|?22?()2?2217?2?1?????????15|PM|?|PN|?|MN|4由余弦定理得cos?PM,PN??=?．---12分 17172|PM|?|PN|2?4222解法3：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?2,由三角函数的性质知|MN|?1T?1,------8

2分

117----------------------------------------9分 |PM|?|PN|?22?()2?22在Rt?PAM中，cos?MPA?|PA|2417-------------------------------11分 ??|PM|171722∵PA平分?MPN ∴cos?MPN?cos2?MPA?2cos?MPA?1

?2?(417215)?1?．------------------------------------------------------12分 171717．解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．-------2

分

频率分布直方图如右图示：------------------------------------------------6分

频率

（2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为：

0.070.050.04组距广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理）0.06 第 7 页 共 4 页

5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中

423?----8分 7053故由f估计该校学生身高在[165,180)的概率p?．-9分

5学生身高在[165,180)的频率f?（3）依题意知?的可能取值为：1,2,3

121C4C4C231∵P(??1)?3?,P(??2)??, 3C65C653C41P(??3)?3?----------------------------12分

C65∴?的分布列为： ---------------------------13分

131?的数学期望E??1??2??3??2．--------------------------------14分

55518．解：（1）依题意知a?3b-----------------①----------------------------------------1分

PF1?PF2， 1?PF2?0 ∴∵PF∴

PF1?PF2??2c??4(a2?b2)?8b2222-------2分 ，

又P?C，由椭圆定义可知

PF1?PF2?2a------②---4分

?PF1?PF2?2?8b2?8?4a2220?F2?2，0?a?6,b?2?c?2．∴F1??2，由①②得、-------------------------6分

（2）由已知

QF1?2QM，即

QF1?2QM22

yQ(x,y)22?F|QM|?|QF|?1-------8分 QM22∵是的切线 ∴

MxF1oF2∴

QF1?2QF2?12?2?---------------------------------------9分

22?y2?2??x?2??y2?1???

设Q(x,y)，则

?x?2??x?6?即

2?y2?34（或

--------------------------------------------11分

?x?6?2?y2?34x2?y2?12x?2?0）

广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理） 第 8 页 共 4 页

综上所述，所求动点Q的轨迹方程为：-------------------------------12分

19．（1）证明：在图甲中∵AB?BD且?A?45 ∴?ADB?45 ,?ABC?90

即AB?BD--------------------------------------------------------------------------------------2分

在图乙中，∵平面ABD?平面BDC ， 且平面ABD?平面BDC＝BD ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥C

D．------------------------------------------4分

????又?DCB?90，∴DC⊥BC,且AB?BC?B

∴DC?平面AB C．-----------------------------------------------------5分 （2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点 ∴EF//CD，又由（1）知，DC?平面ABC， ∴EF⊥平面ABC，垂足为点E ∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角-------------------------------------7分 在图甲中，∵?ADC?105, ∴?BDC?60,?DBC?30 设CD?a则BD?2a,BC?3a,BF?2BD?22a,EF????11CD?a-9分 221aEF2?2?∴在Rt△FEB中，sin?FBE? FB42a即BF与平面ABC所成角的正弦值为

2．---------------------------------10分 4解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD?a，则BD?AB?2a,BC?3a，AD?22a----------------6分

Z可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),

AF33C(a,a,0)，F(a,0,a)， 22????1????3a,0),BF?(a,0,a)-------------8分 ∴CD?(a,?22设BF与平面ABC所成的角为?

由（1）知DC?平面ABC

XDCEBy12????????a?CD?BF22????????∴cos(??)???? 24|CD|?|BF|a?2a广东揭阳市2010—2011学年度高三上学期学业水平考试 数 学 试 题（理） 第 9 页 共 4 页

∴sin??2------------------------------------------------------10分 4（3）由（2）知 FE⊥平面ABC，

又∵BE?平面ABC，AE?平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，

∴∠AEB为二面角B－EF－A的平面角----------------------------------------------12分 在△AEB中，AE?BE?117AC?AB2?BC2?a 222AE2?BE2?AB21?? ∴cos?AEB?2AE?BE7即所求二面角B－EF－A的余弦为?1．-------------------14分 （其他解法请参照给分） 720．解：（1）解法1：由an?1?3an?3n?1?2n(n?N?)

an?1?2?可得n???3?1?3?n?1an?2??n????1，------------------------------3分 3?3?nn?a2?an?2???∴数列?n????是首项为1??0，公差为1等差数列，

33??3?3???an?2?∴n????n?1， -------------------------------------------------------------------------------63?3?分

∴数列?an?的通项公式为an?(n?1)3n?2n．-------------------------------------------------7分

解法2：由an?1?3an?3n?1n?2n(n?N?)

nan?1an1?2?可得n??1???-------------------------------------------------------------------------2?1n333?3?分

an12n?bb?b?1?()--------------------------------------------------------------3分 ，则nn?1nn333∴当n?2时

1222bn?bn?1?bn?1?bn?2???b3?b2?b2?b1?(n?1)?[()?()2???()n?1]----5

3333令

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