·120· 理论力学
xC? ?P1?LLcos?t?P2?Lcos?t?P3?(Lcos?t?)22
P1?P2?P3(P1?2P2??2P3)Lcos?t?P3L
2(P1?P2?P3)LP1?sin?t?P2?Lsin?t(P?2P2)Lsin?t2?1 yC?
P2(P1?P2?P31?P2?P3)（2）应用质心运动定理，有 FOx2P(P1?P2?P3??1?2P2??2P3)L?cos?t??xC??
g2g作用在点O的最大水平力为 FOxmax2(P1?2P2??2P3)L??
2g10-10 如图10.22所示，长为l的均质杆AB，直立在光滑的水平面上。求它从铅直位置无初速地倒下时，端点A相对图示坐标系的轨迹方程。
解：选均质杆AB为研究对象，受力分析如图所示。由于杆AB所受的全部外力在水平轴x方向的投影均为零，即y 在水平方向杆质心运动守恒。而杆是从铅直位置无初速地倒
A 下，即在x方向质心坐标保持不变。杆在倒下的过程中，质心C沿着y轴下降。端点A的运动方程可写为
C lmg xA?cos? ?2B ? yA?lsinx FN 消去参数?，可得端点A相对图示坐标系的轨迹方程为
22 4xA?yA?l2
图10.22
10-11 如图10.23所示重量为P的电机放在光滑的水平
面地基上，长为2l；重量为G的均质杆的一端与电机轴垂直地固结，另一端则焊上一重量为W的重物。设电机转动的角速度为?，求：(1)电机的水平运动方程；(2)如果电机外壳用螺栓固定在基础上，则作用于螺栓的最大水平力为多少？
y B y ?t A ? W A ?t P ? W P G G x
FN1 FN2 x Fx Fy
图10.23
解：（1）选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的坐标系，其中y轴
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第10章 动量定理 ·121·
和当均质杆AB处于垂直方向时重合。从受力图可知，在水平方向系统所受的全部外力的投影均等于零，故系统在水平方向质心运动守恒。假设电机在t时刻x方向的坐标为x，则应用质心运动守恒定理，有
Px?G(x?lsin?t)?W(x?2lsin?t)?0 解得
BG?2W x??lsin?t
P?G?W（2）如果电机外壳用螺栓固定在基础上，y轴通过电机轴。此时系统质心的坐标为 A
G?2W x?lsin?t
P?G?W应用质心运动定理，有
P?G?W???Fx x
g将质心坐标代入上式，可得
Fx??作用于螺栓的最大水平力为
Fxmax?G?2Wl?2 gG?2Wl?2sin?t g10-12 如图10.24所示的物体A和B的质量分别是m1和m2，用跨过滑轮C的不可伸长的绳索相连，这两个物体可沿直角三棱柱的光滑斜面滑动，而三棱柱的底面DE则放在光滑水平面上。设三棱柱的质量为m，且m?4m1?16m2，初瞬时系统处于静止。试求物体A降落高度h?10cm时，三棱柱沿水平面的位移。绳索和滑轮的质量不计。
解：由物体A、B和三棱柱组成的质点系，在水平方向不受外力作用，故质心在水平方向运动守恒。又因起始系统静止，故在水平方向，系统质心位置不变。建立如图所示的坐标系。设物体A、B和三棱柱的初始质心坐标分别为x1、x2和x。当物体A降落高度h?10cm时，不妨假设三棱柱沿水平方向向右移动?x，则此时物体A、B和三棱柱的质心
坐标可分别表示为x1?20cos30o??x、x2?20cos60o??x和x??x。初始位置系统质心坐标为
xC1?m1x1?m2x2?mx
m1?m2?m末位置系统质心坐标为
m1(x1?20cos30o??x)?m2(x2?20cos60o??x)?m(x??x) xC2?
m1?m2?m由于质心水平方向位置不变，故有xC1?xC2，求解，得三棱柱沿水平面的位移为
?x?3.77cm
10-13 如图10.25所示机构中，鼓轮A质量为m1，转轴O为其质心。重物B的质量为m2，重物C的质量为m3。斜面光滑，倾角为?。已知B物体的加速度为a，求轴承O处的约束反力。
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y m1g 理论力学
FOy m2g m3g C B vC A r m1g R O A D FOx mg 30? 60? E x FN C ? FN v B O a m2g
图10.24 图10.25
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。假设某时刻物体B的速度为v，物体C的
vvR速度为vC。它们之间满足关系C?，即vC?v。质点系的动量在两坐标方向的投影可
Rrr表示为
R Px?m3vCcos??m3vcos?
rR Py?m3vCsin??m2v?m3vsin??m2v
r应用动量定理，有
dPx ?FOx?FNsin?
dtdPy?FOy?m1g?m2g?m3g?FNcos? dtdv其中：FN?m3gcos?，?a。解得轴承O处的约束反力为
dtR FOx?(m3gsin??m3a)cos?
rR FOy?m1g?m2(g?a)?(m3gsin??m3a)sin?
r10-14 如图10.26所示质量为m1的平台AB，放在水平面上，平台与水平面间的动摩擦
1系数为f。质量为m2的小车D由绞车拖动，相对于平台运动规律为s?bt2，其中b为已
2知常数。不计绞车的质量，求平台的加速度。
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示坐标系。小车相对于平台
ds的相对速度为vr?不妨设平台在运动过程中t时刻有向左的速度vAB，则小车的绝?bt，
dt对速度为
va?vr?vAB?bt?vAB 由质点系的动量定理
dPx?dt?Fx有
d[?m1vAB?m2(bt?vAB)]?Fd dt·122 ·
第10章 动量定理 ·123·
其中：Fd?fFN，FN?m1g?m2g， aAB y s dvAB?aAB，代入上式，可得平台的加速度 dtmb?f(m1?m2)g?2
m1?m2y C m2g D ? h m1g B x A vAB A m1g C1 m2g B x FN Fd FNA FNB
图10.26 图10.27
10-15 如图10.27所示用相同材料做成的均质杆AC和BC用铰链在点C连接。已知AC?25cm，BC?40cm。处于铅直面内的各杆从CC1?24cm处静止释放。当A、B、C运动到位于同一直线上时，求杆端A、B各自沿光滑水平面的位移sA和sB
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于水平面光滑，故系统在水平方向不受外力作用，质心在水平方向运动守恒。由于初始时系统静止，故质心在水平方向的坐标在运动过程中保持不变。不妨设杆单位长度的质量为m，单位是kg/cm，则两杆的质量分别为m1?25m，m2?40m。建立如图所示的坐标系，则两杆在初始时刻x方向坐标分别为
11x1?252?242?3.5，x2?7?402?242?23。杆在下落的过程中，端A会向左滑
22动，而端B会向右滑动。当A、B、C运动到位于同一直线上时，两杆的质心x坐标分别
'''为x1，有 ??sA?12.5，x2??sA?25?20??sA?45。由质心运动守恒定理xC?xC25m?3.5?40m?2325m?(?sA?12.5)?40m?(?sA?45) ?25m?40m25m?40m解得杆端A沿光滑水平面的位移sA
sA?17(cm) 杆端B沿光滑水平面的位移sB为
sB??17?25?40?(7?32)?9(cm)
10-16 匀质曲柄OA重G1，长为r，初始时曲柄在OA0位置。曲柄受力偶作用以角速度?转动，转角???t，并带动总重G2的滑槽、连杆和活塞B作水平往复运动，如图10.28
所示。已知机构在铅直面内，在活塞上作用着水平常力F。试求作用在曲柄轴O上的最大水平分力。不计滑块的质量和各处的摩擦。
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的水平坐标轴Ox，质点系的质心坐标可用公式表示为
rG1?cos?t?G2(rcos?t?b)2 xC?
G1?G2
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·124· 理论力学
?C?应用质心运动定理m?x?Fx，有
G1?G2??C?FOx?F xg
将质心坐标公式代入上式，计算可得 FOxr?2?F?(G1?2G2)cos?t
2gr?2?F?(G1?2G2)
2g作用在曲柄轴O上的最大水平分力为 FOxmax4R）。3?受力偶M作用，在铅垂面内绕O轴转动，转动的角速度与角加速度分别为?和?，如图10.29所示。当OC与水平线成任意角?时，求该瞬时轴O的约束反力。
10-17 10-17 质量为m，半径为R的匀质半圆形板，C点为半圆板的质心（OC? G1 A C1 ? O ? FOx b A0 C2 B F x M O FOx nFOya C ? Cx aC ?FOy G2 FN2 y mg ? ? FN1
图10.28 图10.29
解：选半圆形板为研究对象，受力分析如图所示。建立如图所示的坐标系，质心C的法
4R24Rn?向加速度aC??，切向加速度为aC??，方向如图所示。质心加速度在两坐标轴上
3?3?的投影分别为
4R4Rn? aCx??aCcos??aCsin????2cos???sin?
3?3?4R24Rn? aCy?aCsin??aCcos???sin???cos?
3?3?应用质心运动定理，有
maCx?FOx，maCy?FOy?mg 联立求解，可得杆O端的反力为
4mR2(?cos???sin?) 3?4mR2 FOy?mg?(?sin???cos?)
3? FOx??·124 ·
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