理论力学(盛冬发)课后习题答案ch10

第10章 动量定理 ·115·

第10章 动量定理

一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)

1．内力虽不能改变质点系的动量，但可以改变质点系中各质点的动量。 ( √ ) 2．内力虽不影响质点系质心的运动，但质点系内各质点的运动，却与内力有关。( √ ) 3．质点系的动量守恒时，质点系内各质点的动量不一定保持不变。 ( √ ) 4．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心坐标保持不变。 ( × ) 5．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心运动的速度保持不变。 ( √ ) 二、填空题

1．质点的质量与其在某瞬时的速度乘积，称为质点在该瞬时的动量。 2．力与作用时间的乘积，称为力的冲量。

3．质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。

4．质点系的动量随时间的变化规律只与系统所受的外力有关，而与系统的内力无关。 5．质点系动量守恒的条件是质点系所受外力的主矢等于零，质点系在x轴方向动量守恒的条件是质点系所受外力沿x轴方向投影的代数和等于零。

6．若质点系所受外力的矢量和等于零，则质点系的动量和质心速度保持不变。

三、选择题

1．如图10.12所示的均质圆盘质量为m，半径为R，初始角速度为?0，不计阻力，若不再施加主动力，问轮子以后的运动状态是( C )运动。

(A) 减速

(B) 加速

(C) 匀速 (D) 不能确定

2．如图10.13所示的均质圆盘质量为m，半径为R，可绕O轴转动，某瞬时圆盘的角速度为?，则此时圆盘的动量大小是( A )。

(A) P?0 (C) P?2m?R

R O (B) P?m?R (D) P?m?R/2 O R B A ?0 ? C 图10.14

图10.12 图10.13

3．均质等腰直角三角板，开始时直立于光滑的水平面

上，如图10.14所示。给它一个微小扰动让其无初速度倒下，问其重心的运动轨迹是( C )。

(A) 椭圆 (C) 铅垂直线

(B) 水平直线 (D) 抛物线

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4．质点系的质心位置保持不变的必要与充分条件是( D )。 (A) 作用于质点系的所有主动力的矢量和恒为零 (B) 作用于质点系的所有外力的矢量和恒为零

(C) 作用于质点系的所有主动力的矢量和恒为零，且质心初速度为零 (D) 作用于质点系的所有外力的矢量和恒为零，且质心初速度为零

四、计算题

10-1 计算如图10.15所示的下列各刚体的动量。

(a) 质量为m，长为L的细长杆，绕垂直于图面的O轴以角速度?转动； (b) 质量为m，半径为R的均质圆盘，绕过边缘上一点且垂直于图面的O轴以角速

度?转动；

(c) 非均质圆盘质量为m，质心距转轴OC?e，绕垂直于图面的O轴以角速度?转动； (d) 质量为m，半径为R的均质圆盘，沿水平面滚动而不滑动，质心的速度为vC。 解：（a）由于刚体质心的速度vC?有

P?mvC?1L?，方向水平向右。根据刚体动量的计算公式，21mL? 2方向水平向右。

（b）由于刚体质心的速度vC?R?，方向水平向右，故刚体的动量为

P?mvC?mR?

方向水平向右。

（c）由于刚体质心的速度vC?e?，方向垂直于OC的连线，故刚体的动量为

P?mvC?me?

方向垂直于OC的连线。

（d）由于刚体质心的速度为vC，方向水平向右，故刚体的动量为

P?mvC 方向水平向右。

O ? O ? e L C R ? O C R C vC A (a) (b) (c) (d)

图10.15

10-2 如图10.16所示的皮带输送机沿水平方向输送煤炭，其输送量为72000kg/h，皮带

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第10章 动量定理 ·117·

的速度v?1.5m/s，求在匀速传动中，皮带作用于煤炭上的水平推力。

解：设皮带作用于煤炭上的水平推力为Fx，则由质点系的动量定理，有

dPx?Fx dt而

dPxdm72000?v??1.5?30(N)，故水平推力为 dtdt3600Fx?30(N)

10-3 如图10.17所示的重物A、B的重量分别为P1、P2，不计滑轮和绳索的重量，A物下降加速度为a1，求支点O的反力。

解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点系的动量定理，有

dPy?F0?P1?P2 dtPPP?2P11v1，代入上而Py?2v2?1v1，而由图示的结构可以看出，v2?v1，即Py?2gg2g2式，有

F0?P1?P2? FO O P2?2P1a1 2gv O C A v1 a1 P1 v2 P2 B

图10.16 图10.17

10-4 人站在车上，车以速度v1前进。设人的质量为m1，车的质量为m2，如果人以相对于车的速度vr向后跳下，求此时车前进的速度。

解：若不计车与路面之间的摩擦，则人和车组成的系统在沿地面方向的动量应守恒。设人以相对于车的速度vr向后跳下，此时车前进的速度为v，应用质点系动量守恒定理，有

(m1?m2)v1?m1v?m2(v?vr) 解得

v?v1?m1vr

m1?m210-5 物体沿倾角为?的斜面下滑，它与斜面间的动滑动摩擦系数为f'，且tan??f'，如物体下滑的初速度为v0，求物体速度增加一倍时所经过的时间。

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解：选沿斜面下滑的物体为研究对象，受力分析如图所示。应用动量定理，有

P(2v0?v0)?(Psin??Fd)t gv0 P Fd FN 而Fd?f'FN?f'Pcos?，代入上式，可得

P(2v0?v0)?(Psin??f'Pcos?)t g? 解得物体速度增加一倍时所经过的时间

t?v0

g(sin??f'cos?)10-6 如图10.18所示的椭圆规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1，而滑块A和B的质量均为m2。已知OC?AC?CB?l，曲柄和尺的质心分别在其中点上，曲柄绕O轴转动的角速度?为常量。求当曲柄水平向右时质点系的动量。

解：质点系的动量为四个物体动量的矢量和，即

P??P

i四个物体的动量分别为

PA?m2vA?m2PA??ABj?2m2?lcos?tj PB?m2vB??m2PB??ABi??2m2?lsin?ti

PAB?2m1vC??2m1?lsin?ti?2m1?lcos?tj

11 POC?m1vD??m1?lsin?ti?m1?lcos?tj

22这样，质点系的动量可表示为

55 P?Pi??(m1?lsin?t?2m2?lsin?t)i?(m1?lcos?t?2m2?lcos?t)j

22当曲柄水平向右时，即?t?0时，代入上式，可得

5P?(m1?l?2m2?l)j

2说明质点系的动量方向垂直向上。

? vA A ?AB P y mg A x x k F O vC vD C D B FN ? M ? O ?t vB B m1 m1g

图10.18 图10.19

10-7 如图10.19所示质量为m的滑块A，可以在水平光滑的槽中运动，具有刚度系数为k的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。杆AB长为l，质量忽略不计，A端与滑块A·118 ·

第10章 动量定理 ·119·

铰接，B端装有质量m1的小球，在铅直平面内可绕点A旋转。设在力偶M的作用下转动角速度?为常数，求滑块A的运动微分方程。

解：取整体为研究对象，受力如图所示，建立水平向右的坐标轴Ox，点O取在运动初始时滑块A质心上，质点系的质心坐标为：

xC?mx?m1(x?lsin?t)mlsin?t?x?1

m?m1m?m1?C??kx，得： 根据质心动定理：(m?m1)?xk?xm1l?2???x?sin?t

m?m1m?m110-8 如图10.20所示的质量为m，半径为2R的薄壁圆筒置于光滑的水平面上，在其光滑内壁放一质量为m，半径R的均质圆盘。初始时两者静止，且质心在同一水平线上。如将圆盘无初速释放，当圆盘最后停止在圆筒的底部时，求圆筒的位移。

解：以整体为研究对象，受力分析如图所示。建立水平向左的坐标轴Ox如图所示。从受力图可以看出，在水平方向所有外力的投影均等于零，即在水平方向的质心运动守恒。而由于圆盘无初速释放，即系统初始时质心的速度等于零，可知质心在水平方向的坐标保持不变。设圆盘最后停止在圆筒的底部时，圆筒的位移为s，应用质心运动守恒定律，可知

mR?2ms 很容易解得圆筒的位移为s

R s?

210-9 在图10.21所示曲柄滑块机构中，曲柄OA以匀角速度?绕O轴转动。当开始时，曲柄OA水平向右。已知曲柄重P1，滑块A重量为P2，滑杆重量为P3，曲柄的重心在OA的中点，且OA?L，滑杆的重心在点C，且BC?L/2。试求：(1)机构质量中心的运动方程； (2)作用在点O的最大水平力。

2R R O C1 y ? FOx A B C D x mg C2 mg O P1 P2 FOy LP3 FN 2x FN

图10.20 图10.21

解：（1）建立如图所示的坐标系，应用质点系质心坐标公式计算机构质量中心坐标为

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