全国181套中考数学试题分类解析汇编_图形的旋转变换(5)

∠CBA1=∠∠CBC1＋∠A1BC1=90°＋45°=135°。

（2）由∠A1C1B=∠C1BC=90°可以得到A1C1∥BC，又A1C1=AC=BC，利用评选四边形的判定即可证

明。

6.（江苏南通10分）如图1，O为正方形ABCD的中心，分别 延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接 EF．将△EOF绕点O逆时针旋转?角得到△E1OF1(如图2)．

(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； (2)当?＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形． 【答案】解：(1)AE1＝BF1，证明如下：

∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD。∴OE＝OF 。 ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转?角得到，∴OE1＝OF1。 ∵ ∠AOB＝∠EOF＝90， ∴ ∠E1OA＝90－∠F1OA＝∠F1OB。

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?OE1＝OF1? 在△E1OA和△F1OB中，??E1OA＝?FOB，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）。 1? ?OA＝OB ∴ AE1＝BF1。

(2)取OE1中点G，连接AG。

∵∠AOD＝90，?＝30° ， ∴ ∠E1OA＝90－?＝60°。 ∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°。 ∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°。∴ ∠E1AO＝90°。

∴△AOE1为直角三角形。

【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定。

【分析】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边。考察△E1OA和△F1OB，由正方形对角线互相平分的性质有OA＝OB；再看OE1和OF1，它们是OE和OF经过旋转得到，由已知易得相等；最后看夹角∠E1OA和∠GE1A，由于它们都与∠F1OA互余。从而得证。

(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°。考虑到OE1＝2OA，作辅助线AG，得∠AGO＝∠OAG，由于∠E1OA与?互余，得到∠E1OA＝60°，从而得到△AOG的三个角都相等，都等于60。又由AG＝GE1得到∠GAE1＝∠GE1A＝30°。因此 ∠E1AO＝90°，从而得证。

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7.（山东聊城8分）将两块大小相同的含30o角的

直

角三角板(∠BAC＝∠B1A1C＝30o)按图1的方式放 置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直 角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90o)至图2 所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交 于点F，AB与A1B1交于点O．

(1)求证：△BCE≌△B1CF；

(2)当旋转角等于30o时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由． 【答案】解：（1）证明：∵在△BCE和△B'CF中，

∠B＝∠B1＝60°，BC＝B1C，∠BCE＝90°－∠A1CA＝∠B1CF， ∴△BCE≌△B1CF(ASA)。

（2）当∠A1CA＝30°时，AB⊥A1 B1。理由如下：

∵∠A1CA＝30°，∴∠B1CF＝90°－30°＝60°。

∴∠B1FC＝180°－∠B1CF－∠B1＝180°－60°－60°＝60°。 ∴∠AFO＝∠B1FC＝60°，

∵∠A＝30°，∴∠AOF＝180°－∠A－∠AFO＝180°－30°－60°＝90°。 ∴AB⊥A1 B1。

【考点】全等三角形的判定，两角互余的性质，三角形内角和定理，等量代换，垂直的判定。 【分析】（1）根据全等三角形ASA的判定即可证明。

（2）利用两角互余的性质和三角形内角和定理，经过等量代换即可证得∠AOF＝90°，从而证得。

8.（广东河源6分） 如图，在平面直角坐标系中，点A（－4，4），点B（－4，0），将△ABO绕原点O按顺时针方向旋转135°得到△A 1B1 O。回答下列问题：（直接写结果） （1）∠AOB= ___________°；

（2）顶点A从开始到A1经过的路径长为 ___________； （3）点B1的坐标为___________

用心 爱心 专心 22

【答案】解：（1）45。（2）152?。（3）（22，22）。

【考点】旋转的性质，等直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理。 【分析】（1）∵AB=OB，∠ABO=90，∴∠AOB=45。 （2）顶点A从开始到A1经过的路径长为弧长AA1 它等于

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n?r135???42==152?。 180180 （3）由x2?y2=42，x=y 得 x=y?22。∴点B1的横坐标和纵坐标均为22。

9.（广东省9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2) B

C（E）

B

G C A（D） F

A（D）

F H

图(1)

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

E 图(2)

（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形. 【答案】解：（1）△HAB ，△HGA。 （2）∵△AGC∽△HAB，∴

ACGC9x，即=。 ?y9HBAB ∴y=81。 x?0

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②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2， 在△HGA和△AGC中

∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=45， ∴△HGA∽△AGC。

∵AG=AH，∴x?CG?AC?9 ∴当x?0

92或x?9时，△AGH是等腰三角形。 2【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。

【分析】（1）在△AGC和△HAB中，

∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+90—∠GAC=135—∠GAC， ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=90+45—∠GAC， ∴∠AGC=∠BAH。

又∵∠ACG=∠HBA=45，∴△AGC∽△HAB。 在△AGC和△HGA中，

∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=45—∠CAF，

∠H=1800-∠ACH—∠CAH=180—135—∠CAF=45—∠CAF， ∴∠CAG=∠H。

又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。 （2）利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。

（3）考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。

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10.（广东珠海7分）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°） 绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处， 连结AA1．

（1）写出旋转角的度数； （2）求证：∠A1AC＝∠C1．

【答案】解：（1）旋转角的度数为60°。

（2）证明：由题意可知：△A1BC1是由△ABC旋转得到，△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB，∠C＝∠C1。 由（1）知：∠ABA1＝60°，

∴△A1BA为等边三角形。 ∴ ∠BAA1＝60°。

由（1）知：∠CBC1＝60°，∴∠BAA1＝∠CBC1。 ∴AA1∥BC。∴∠A1AC＝∠C。∴∠A1AC＝∠C1。

【考点】旋转的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质。 【分析】（1）由平角的定义和已知的∠ABC＝120°即可得∠CBC1＝60°。

（2）根据旋转后图形的形状和大小都不发生变化的性质和等边三角形每个角都是60的性质，可推出AA1∥BC，由两直线平行内错角相等的性质可推出∠A1AC＝∠C＝∠C1。

11．（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．

当α= ▲ 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 ▲ ． 探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO= ▲ 度，此时点N到CD的距离是 ▲ ．

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的

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