1996考研数三真题及解析(4)

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?8?0??0??00??x1??0??x??0?800???2????,

04?4??x3??0??????0?44??x4??0?00分别求得对应?1,2,3?1的线性无关特征向量

?1?(1,0,0,0)T,?2?(0,1,0,0)T,?3?(0,0,1,?1)T,

和?4?9的特征向量?4?(0,0,1,1)T.

对?1,?2,?3用施密特正交化方法得?1,?2,?3,再将?4单位化为?4,其中：

?1?(1,0,0,0)T,?2?(0,1,0,0)T,?3?(0,0,取正交矩阵

11T11T,?),?4?(0,0,,). 2222?1?0??P???1,?2,?3,?4???0???0?010001210?20?0??1??, 2?1??2??1??1??12T2?, 则 PAP?PAP???1???9???1??1??. 即 (AP)T(AP)?PTA2P???1???9??

十、(本题满分8分)

【解析】证法1： (定义法)若有一组数k,k1,k2,,kt,使得

?kt(???t)?0, (1)

,t),用A左乘上式的两边,有

k??k1(???1)?k2(???2)?则因?1,?2,,?t是AX?0的解,知A?i?0(i?1,2,(k?k1?k2??kt)A??0. (2)

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由于A??0,故k?k1?k2?对(1)重新分组为(k?k1?k2?把(2)代入(3)得 k1?1?k2?2?由于?1,?2,?kt?0. ?kt)??k1?1?k2?2??kt?t?0.

,kt?0.

?kt?t?0. (3)

,?t是基础解系,它们线性无关,故必有k1?0,k2?0,代入(2)式得:k?0. 因此向量组?,???1,???2,,???t线性无关.

证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有

??,???1,???2,因此 r??,???1,???2,由于?1,?2,由?1,?2,,???t????,?1,?2,,???t??r??,?1,?2,,?t?. ,?t?.

,?t??t,又?必不能

,?t是基础解系,它们是线性无关的,秩r??1,?2,,?t线性表出(否则A??0),故r??1,?2,,?t,???t?1.

所以 r??,???1,???2,即向量组?,???1,???2,

十一、(本题满分7分)

,???t??t?1.

,???t线性无关.

【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X,则X服从二项分布即B(5,0.2). 由二项分布的概率计算公式,有

P?X?0??0.85?0.32768,

1P?X?1??C50.84?0.2?0.4096, 2P?X?2??C50.83?0.22?0.2048,

P?X?3??1?P?X?0??P?X?1??P?X?2??0.05792.

设一周内所获利润Y(万元),则Y是X的函数,且

?10,?5,?Y?f(X)???0,???2,若X?0,若X?1,

若X?2,若X?3.由离散型随机变量数学期望计算公式,

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EY?10?0.32768?5?0.4096?2?0.05792?5.20896(万元).

【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：

kk若Y?B(n,p),则P?Y?k??Cnp(1?p)n?k, k?0,1,n,n.

2.离散型随机变量数学期望计算公式：E(X)??xk?1k?P?X?xk?.

十二、(本题满分6分)

【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.

?B2?设事件A1?“方程有实根”,A2?“方程有重根”,则A1??B?4C?0???C??.

4??2用列举法求有利于Ai的样本点个数(i?1,2),具体做法见下表:

B2有利于的意思就是使不等式C?尽可能的成立,则需要B越大越好,C越小越好.

4当B取遍1,2,3,4,5,6时,统计C可能出现的点数有多少种. B 1 2 3 4 5 6 有利于A1的样本点数 0 1 2 4 6 6 有利于A2的样本点数 0 1 0 1 0 0 由古典型概率计算公式得到

p?P(A1)?1?2?4?6?6191?11?,q?P(A2)??.

36363618有利于事件Ai的样本点数样本空间的总数【相关知识点】古典型概率计算公式：P(Ai)?

十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,X1,X2,.

2,Xn独立同分布,可见X12,X2,2也独立同分布.由 ,XnEXk?ak(k?1,2,3,4)及方差计算公式,有

EXi2?a2,2DXi2?EXi4?(EXi2)2?a4?a2, 1n1n1222EZn??EXi?a2,DZn?2?DXi?(a4?a2).ni?1ni?1n因此,根据中心极限定理

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Un?Zn?a2(a4?a)22

n2a4?a2)的正态分的极限分布是标准正态分布,即当n充分大时,Zn近似服从参数为(a2,n布.

【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：

设随机变量X1,X2,,Xn独立同分布,方差存在,记?与?2?0??????分别是它们

相同的期望和方差,则对任意实数x,恒有

n?1?limP?(?Xi?n?)?x???(x), n????ni?1?其中?(x)是标准正态分布函数.

2.方差计算公式：D(X)?E(X2)?E2(X).

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