线性代数课后答案++戴立辉版 稀有!(6)

?x11??1?c1?c2??1??1??1???????????x2?c?c2?11212??????????1??x21??2?c1??2???1??0?（c1,c2??）. ?????????c1???c2??，

c1?x22????0??1??0??x31??1?c2??1??0???1??????0???0???1??????x???c????2????32??3．??x1?2x3?2x4?0,

?x2?3x3?4x4?0. ?x1???c???1???????4．（1）?x2???c??c?1?，（c??）.

?x??c??1??3????? （2）当b?0或1?a?0时，即b?0或a?1时，齐次线性方程组有非零解.

?x1???c???1??????? 当a?1时，有?x2???0??c?0?，（c??）.

?x??c??1??3??????x1???c???1???????当b?0时，有?x2???(a?1)c??c?a?1?，（c??）.

?x??c??1??3?????5．（1）当??1,?2时，非齐次线性方程组有唯一解；

当???2时，非齐次线性方程组无解；

当??1时，非齐次线性方程组有无限多个解，有

?x1??1?c1?c2??1???1???1???????????c1?0?c1?c ?x2???（c1,c2??）. ???1??2?0?，

?x????0??0??1?c2?3????????? （2）当??1且??10时，非齐次线性方程组有唯一解； 当??10时，非齐次线性方程组无解；

当??1时，非齐次线性方程组有无数多个解，有

?x1??1?2c1?2c2??1???2??2???????????x?c?0?c1?c（c1,c2??）. 1?2?????1??2?0?，?x????0??0??1?c2?3?????????

?1??2???4??0??19???19?????????3????1?714????7．（1）?1??4?,?2??4?， （2）?1?,?2???19??19?.

?1??0?????01?????????0??1??????????1??0??1?1???51110．B?? ?

?80???08???x1?2x2?x3?0,11．?

2x?3x?x?0.?124??11?????1??16??1?12．（1）x??0??c??,（c??）.

???1?7???????0??2??9??1???7??2??1????????211?????（

（2）x????c1?c2?7??2?,c1,c2??）. ?0???????010???????1??0?????14．x??1?c1(?3??1)?c2(?2??1),（c1,c2??）.

?1??0??????1?1????15．x?c1?c,（c1,c2??）. ?1?2?0?????0???1?16．???，

1 当??，非齐次线性方程组有无限多个解，

2

?1??1?1????2???2????????3??1?1?c2?x????c1?,（c1,c2??）. ??1?0??0??????0???1???0?????当??

1，非齐次线性方程组有无限多个解，有 2?0???1?????11?????2??c?2?,（c??）.

x???1??1??????2???2??0??1??????x1??1??x1??1?????x2???1??????x2220．（1）?????， （2）?x3???1?.

?x3??3??????????x4???1?x?1?4????x??1??5???21．齐次线性方程组仅有零解.

22．当??0或??1时，齐次线性方程组有非零解. 23．当??0,2或3时，齐次线性方程组有非零解.

习题5

1.求下列矩阵的特征值和特征向量.

?1111???200??122???11?1?1?31??????. （1）?（2）?202?；（3）?212?，（4）??；?1?11?1??5?1??221??311???????1?1?11??2.证明下列各题：

（1）设A是幂等矩阵（即满足A?A），则A的特征值只能0是或1；. （2）设A是正交矩阵，则A的实特征值的绝对值为1.

23.已知3阶矩阵A的特征值为?1,0,2，计算行列式A?A?E.

24.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,?3，计算行列式|A*?3A?2E|. 5.设A,B都是n阶方阵，且A可逆，证明AB与BA相似．

??21?2???6.判断矩阵A???53?3?可否对角化，若能的话，将它化为标准形.

?102?????200???100?????7.设矩阵A??2a2?与???020?相似，求a,b；并求一个可逆矩阵P，

?311??00b?????使PAP??.

?1?201???8.设A??31a?，问a为何值时，矩阵A可对角化?

?405???9.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵：

?011?1??1?20??400??22?2???10?11????????. （1）（2）（3）（4）?031?；??22?2?；?25?4?；?1?101??013??0?23???2?45??????????1110????102???10.将矩阵A??012?用两种方法对角化：

?220???（1）求一个可逆矩阵P，使PAP为对角阵；（2）求一个正交矩阵T，使TAT为对角矩阵.

11.设3阶矩阵A的特征值为?1??2,?2?1,?3?2；对应的特征向量依次为

?1?1?1??1??0???????1??1,??1,????2??3?1?，

?1??0??1???????求矩阵A.

12.设3阶实对称矩阵A的特征值?1??1,?2?0,?3?1；属于?1,?2的特征向量依次为

?2??2?????1??1,??2????2?，

??2??1?????求一个正交矩阵T，使TAT为对角矩阵.

13.设3阶实对称矩阵A的特征值?1??1,?2??3?1；属于特征值?1??1的特征向量

?1?0???为?1??1?，求矩阵A.

?1????120???20?，求A100. 14.设A??0??2?1?1???15.在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村.假设该国总人数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把n年后农村人口和城镇人口占总人

数的比例依次记为xn和yn(xn?yn?1)．

（1）求??xn?1??xn?1??xn?与的关系式并写成矩阵形式：??????y?n?1??yn?1??yn??x?A?n?； ?yn??1??x0??2??xn??（2）设目前农村人口与城镇人口相等，即????，求??． ?y0??1??yn????2?解答习题5

1.（1）?1??2,?2?4;?1???,?2???1??1??1??； ??5??00?1???（2）?1??1,?2?2,?3??2;(?1,?2,?3)???210?；

?111????101???11?； （3）?1??2??1,?3?5;(?1,?2,?3)??0??1?11?????1?1?（4）?1??2,?2??3??4?2;(?1,?2,?3,?4)??1??13.9. 4.－25.

6.A不可对角化.

110010101??0?. 0??1??00?1???1????1??27.a?0,b??2;P???210?,PAP???.

?111???2?????8.a?3.

?2?3??19.（1）T???3?2????32323131?3??2??2????,T?1AT???1?； 3??5????2??3?

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