线性代数课后答案++戴立辉版 稀有!

新编线性代数习题解答

习题1

1.求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）4 1 5 3 2； （4）3 7 1 2 4 5 6； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)； （6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2. 2.利用对角线法则计算下列二阶、三阶行列式：

（1）

3?2； （2）1?4?1；

?1?4?183yx?yxx?yxy.

201abcx（3）bca； （4）ycabx?y3.在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号： (1)a23a31a42a56a14a65；

(2)a33a42a14a51a66a25. 4.计算下列各行列式：

00（1）?n?1012340?200?21?43????； （2）；

3?4?120?00043?2?10?00n0121ac?cdcf0?01021（3）

001210045?120?502010203?4； ； （4）71?31?1?5022?3013?ab（5）bdbf1?x111ae11?x11de； （6）.

111?y1?ef1111?y5.证明:

a11(1)a31a12a32a42a52ab1a13a23000b21c?ac1?a1c2?a2a14a24000a15a250?0； 00a21a22a41a51a2（2）2aa?b2b=(a?b)3；

1b?c(3)b1?c1a?babb1b2cc1； c2b2?c2a1?b1=2a1a2?b2a21a(4)2aa41bb2b41cc2c41d； 2dd4?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)；

x0(5)??1x?0an?11?0?1?0???00?x00??1x?a1?xn?a1xn?1???an?1x?an.

0ana(1)

an?2?a26.计算下列各n阶行列式：

,其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；

1ax?1a?aax?1?a(2)；

???aa?x?1a11（3）11a20?010?0??100，其中a2a3?an?0；

?a3??1?an1?a1(4)

1?1?11?,其中a1a2?an?0；

1?11?a2??1?an(a?1)n?1(a?1)n?2(5)

(a?2)n?1?(a?n)n?1(a?2)n?2?(a?n)n?2?a?21???a?n1；

?a?11(6)Dn?det(aij),其中aij?i?j. 7.利用拉普拉斯定理计算下列各行列式：

320000430000（1）

002100003200000032000054；

30（2）

400305an040620； 30bn?0a1b1c1?0d1?dn?0.

(3)D2n?0cn解答习题1

1.（1）0；（2）4；（3）6；（4）7；（5）

3n(n?1)；（6）n(n?1). 23332.（1）-14；（2）-4；（3）3ab?a?b?c；（4）?2(x?y).

33.（1）正号；（2）负号. 4.（1）(?1)(n?1)(n?2)222（2）900；（3）5；（4）－799；（5）4abcdef；（6）xy. n!；

5.提示：（1）用行列式定义证明；（2）、（3）、（4）用行列式性质证明；（5）用数学归纳法证明.

6.（1）an?2（2）[x?1?(n?1)a](x?1?a)(a?1)；

n2n?1；（3）(a2a3?an)(a1?1)；?i?2ain（4）(a1a2?an)(1?1（5）?(i?j)；（6）(?1)n?1(n?1)2n?2. )；?i?1ain?i?j?17.（1）2；（2）2；（3）

?(adii?1ni?bici).

习题2

1.有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2，4，5，6负于选手3；选

手2胜选手4，5，6负于选手1，3；选手3胜选手1，2，4负于选手5，6；选手4胜选手5，6负于选手1，2，3；选手5胜选手3，6负于选手1，2，4；若胜一场得1分，负一场得零分试用矩阵表示输赢状况，并排序.

2.某种物资以3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B.且

?3572??1320?????A??2043?，B??2157?

?0123??0648?????试用矩阵表示各产地运往各销地两次的物资调运量.

?111??123?????T3.设A??11?1?，B???1?24?，求3AB?2A与AB.

?1?11??051?????4.某厂研究三种生产方法，生产甲、乙、丙三种产品，每种生产方法的每种产品数量用

如下矩阵表示：

甲 乙 丙?234?方法一 ??A??123?方法二?241?方法三??若甲、乙、丙各种产品每单位的利润分别为10元，8元，7元，试用矩阵的乘法求出以何种

方法获利最多.

5.设A???12??10?，B????，问 1312????2（1）AB?BA吗？

22（2）?A?B??A?2AB?B吗？

（3）?A?B??A?B??A2?B2吗？ 6.举反例说明下列命题是错误的： （1）若A?O，则A?O；

2（2）若A?A，则A?O或A?E；

2（3）若AX?AY，且A?O，则X?Y. 7.设A???10?23?，Ak. ?，求A，A，??1?8.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB?BA. 9.用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵： （1）??12??cos?； （2）???25??sin??sin???； cos???1?12?1??0??（3）?34?2?； （4）??0?5?41?????010.解下列矩阵方程： （1）?210032104??3?. 2??1??25??4?6?X????；

?53??21??21?1????1?13?X210（2）????432?；

??1?11?????010??100??1?43???????（3）?100?X?001???20?1?.

?001??010??1?20???????11.设方阵A满足A?2A?5E?O，证明A?3E可逆，并求其逆矩阵.

k12.已知对给定方阵A，存在正整数k，成立A?O，试证E?A可逆，并指出

2?E?A??1的表达式.

13.设A为3阶方阵，A?1?1?，求?2A??5A. 2?

14.设方阵A可逆，证明其伴随矩阵A也可逆，且A????1??A?1??.

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