06至10年浙江省高等数学(竞赛 工科类试题)(5)

当时，，

当时，，

当时，，

因此拐点为

5．已知极限，求常数的值

解 == =1

于是，

由，得

另解 ＝1

21

二、（满分20分）设，证明：当时，

证 设

则，，

由且，知当时，。

又设

则，

所以,

从而,不等式得证.

三、（满分20分）设，求的最小值

证 当时，，，，故当时单调增加；

当

时，，故当时单调减少；

当时，

，

=。

由得。当时，，当时，，

22

故是的极小值点，又

=，故的最小值为

四、（满分20分）

=

五、（满分15分）设，证明：

（1）为偶函数；（2）

证 （1）

（2）=

六、（满分15分）设有唯一解

为连续函数，且，证明在上方程

证 设，

则在上连续，在内可导，

23

，当时，，是方程的解；

当使

时，，即方程

，由零点定理，得至少存在一点至少有一解。

又，故有唯一解

在上严格单调递增，因此在上方程

2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）

一、计算题（每小题14分，满分70分） 1．求极限lim?n(n?1?n)??n???2??1??n?1?nn?1?n

2．计算

dx? ???1?x2??2?2x?x2?

+? 3．设?ABC为锐角三角形,求sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC的最大值和最小值。

4．已知分段光滑的简单闭曲线?（约当曲线）落在平面?：ax?by?cz?1?0上，设?在

?上围成的面积为A,求

?????bz?cy?dx??cx?az?dy??ay?bx?dz,其中n与?的方向成

ax?by?cz右手系。

5．设f连续，满足f?x??

二、（满分20分）定义数列?an?如下：a1?求liman。

n??x??exp?x2?t2?f?t?dt,求f??1??3f?1?的值。

011,an??max?an?1,x?dx,02 x n?2,3,4,?，

三、（满分20分）设有圆盘随着时间t 的变化，圆盘中心沿曲线

L:x?cost,y?sint,z?t2(t?0) 向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘

24

半径r (t) 随时间改变，有r(t)?t，求在时间段?0,?内圆盘所扫过的空间体积。

32?1??2?四、（满分20）证明：当?x?0，

? ????t2??x2 xexp1???2??dt?xexp???2?

?五、（满分20分）证明：tan2x?2sin2x?3x2,x????0,??2??.

2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题评析（工科类） 一、计算题：

?2n?1?nn?1?n?????1?2??1．解：原极限=lim??1n?1?n?n???1??e?0.5

?2n?1?n?? 2．解：

11??21?x2??2?2x?x2??5?x?12x?3?1?x2??2?2x?x2?? ?原积分=1ln?1?x2??arctanx?ln?x2?2x?2??arctan?x?12?5????????53．解：记f?B,C??sin?B?C??sinB?sinC?cos?B?C??cosB?cosC

fB??B,C??cos?B?C??cosB?sin?B?C??sinB?0 fC??B,C??cos?B?C??cosC?sin?B?C??sinC?0 ?cosB?sinB?cosC?sinC?B?C 或 B?C??/2?舍去? cos?2B??cosB?sin?2B??sinB?0?B??/3?A?C?B??/3

maxf?B,C??1.5?3?1? minf?B,C??1

4解：原积分= －

??2adydz?2bdzdx?2cdxdy???a2?b2?c2??0.5s???a2?b2?c2?ds

s 25

???a2?b2?c2?0.5A

5．解：f??x?0.5?f?2x? x 0exp?x2?t2?f?t?dt?x?0.5?f?2x?f?x0.5?

?f??1??3f?1???1 二、解：a111n??0max?an?1,x?dx??0an?1dx?an?1,即{an}单调增且a1?2?1, 设0?an?1,则0?an?1??10max?an,x?dx??10dx?1,即{an}有界。

可知{aa1n}收敛记其极限为a,有a??10max?a,x?dx??0adx??axdx??1?a2?/2 a?1 三、解：V??0.5?r2ds??0.5?t301?4t2dt???0.5004t21?4t2d?4t2?1?/32

??232?1?t?1?tdt????2t2.5?2t1.5??232?53?1??120?2?1?

四、证明：

x???exp??t2? ???t2? ???t2?x??2??dt?? xxexp???2??dt?? xtexp???2??dt?exp??x2???2?

?五、证明：tanx?x,?tanx???1?tan2x?1?x2?tanx?x?x3/3

易知 sinx?x?x3/6 ?tan2x?2sin2x?3x2,.

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