2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
一、
计算题（每小题12分，满分60分）
1、计算limn??n????1x?nx?????n???e?.
?????n?x???nx???解: ?lim???x?x?n??n??ex????1?x?x?????limx???n??????1?????1?n?????n??ne??????e?? ????????????xn??n????1?x?x????x?limx?????n???e???x?1?x?n???en??ne???1?e??1??limn??neex
?????????????n??1?x??x?e1?x2ex?1lim?n?n??x?x2ex?1lim?1?t?t?et?0t nt?ln(1?0?1?t?1t?1?tt)?0x2ex?1limt21 t?0?x2exlimt?(1?t)ln(1?t) t?0(1?t)t2?x2exlimt?(1?t)ln(1?t)t?0t2 0?0x2exlim1?1?ln(1?t)t?02t
??x2ex2。 、求?1?x4?x82x(1?x8)dx. 1?x4?x811?x4?x8211?x2?x4解: ?x(1?x8)dx?2?x2(1?x8)dx?2?x(1?x4)dx
1
11?x2?x4211?x?x2??2dx??dx 4x(1?x4)4x(1?x2)1??3?1?ABC?1??21?2?4???x?1?x?x?1??dx?4?????x?1xx?1?dx ????1?4???31?2ln(x?1)?lnx?2ln(x?1)???C ??38ln(x?1)?114lnx?8ln(x?1)?C.
23、求?11?ex0dy?y???ey2??x??dx. ?解: ?11?ex2x20dy?y???ey2??x?11e112?dx???0dy?yxdx??0dy?yeydx x2 ??1y0dx?xexdy??10dy?10ye2dx
??1ex2dx??1(1?y)ey2dy??1xex2e?1000dx?2. 4、求过(1,2,3)且与曲面z?x?(y?z)3的所有切平面皆垂直的平面方程.
解:令F(x,y,z)?x?(y?z)3?z
则F2x?(x,y,z)?1,Fy?(x,y,z)?3(y?z),Fz?(x,y,z)??3(y?z)2?1令所求平面方程为: A(x?1)?B(y?2)?C(z?3)?0,
在曲面z?x?(y?z)3上取一点(1,1,1),则切平面的法向量为{1,0,?1}, 则A?C?0
在曲面z?x?(y?z)3上取一点(0,2,1),则切平面的法向量为{1,3,?4}, 则A?3B?4C?0. 解得: A?B?C
即所求平面方程为: x?y?z?6.
二、(15分)设f(x)?ex?x36,问f(x)?0有几个实根?并说明理由.
2
x3解: 当x?0, e?0?
6xx3当x?0, e?0且e的增长速度要比来得快!所以f(x)?0无实根.
60x??n?20三、(满分20分)求??x?中x的系数.
?n?1?3??n??x??1?3解: 当x?1时, ??x????????x
?n?1??1?x??1?x?33?1???x??n???x???????x?? 1?x??2?n?0?2333x3???n(n?1)xn?2 2n?2??n?20 故??x?中x的系数为171.
?n?1?四、(20分) 计算
解： 而
3?Cxyds,其中C是球面x2?y2?z2?R2与平面x?y?z?0的交线.
CC?C(x?y?z)2ds??(x2?y2?z2)ds?2?(xy?yz?zx)ds
?C(x?y?z)2ds?0,
C??C(x2?y2?z2)ds??R2ds?2?R3, xyds??yzds??zxds,
CCC故
?Cxyds???R33.
n五、(20分)设a1,a2,?,an为非负实数,试证:
n?ak?1ksinkx?sinx的充分必要条件为
?kak?1k?1.
证明：必要性 由于
?aksinkx?sinx,则?akk?1k?1nnsinkxsinx, x?0 ?xx 3
nsinkxsinx?lim?ak??kak?lim?1. x?0x?0xxk?1k?1nn充分性;要证明
?ak?1nksinkx?sinx,只需证明:
?ak?1ksinkx?1,这里sinx?0,
sinx若sinx?0,不等式显然成立;
即只需证明:
?akk?1nsinkx?1, sinxnsinkxsinkxn而?ak,?kak?1 ??aksinxsinxk?1k?1k?1n故只要说明:
sinkx?k,即sinkx?ksinx, sinx当k?1时,显然成立;
假设当k?n时,也成立,即sinnx?nsinx;
当k?n?1时, sin(n?1)x?sin(nx?x)?sinnxcosx?sinxcosnx
?sinnx?sinx?(n?1)sinx. sinnx?nsinx 六、(15分)求最小的实数c,使得满足
?10f(x)dx?1的连续函数f(x)都有
?10f(x)dx?c.
解:
?10f(x)dx??f(x)dx?2?tf(t)dx?2?f(t)dx?2,
000111 取y?2x,显然
n?101124f(x)dx?1,而?f(x)dx??2xdx?2??,
0033 取y?(n?1)x,显然而
?10f(x)dx?1,
?10f(x)dx??(n?1)01??xndx?2?n?1?2,n??, n?2 故最小的实数c?2.
2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)
一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求
?x9x?15dx.
4
9解:
?xx5?1dx?15?x5x5?1dx5?15?tt?1dt u??t?11u?11115?udu?5?udu?5?udu
?2315u2?215u2?C 231(x5?1)2?2(x5?1)2155?C。 11x2、求lim(1?x)?(1?2x)2xx?0sinx.
1111(1?x)x?(1?2x)2xxx)2x解: limx?0sinx?lim(1?x)?(1?2x?0x
0?0lim?1x?0?(1?x)x???1?x(x?1)?ln(1?x)?1x2???(1?2x)2x??1ln(1?2x)???x(2x?1)?2x2??? ?0?0lim?1??1?2x?(2x?1)ln(1?2x)x?0?(1?x)x??x?(x?1)ln(1?x)2x???x2(x?1)???(1?2x)??2x2(2x?1)??? ?1?lim(1x?x?(x?1)ln(1?x)?1?2x?x?0?x)??x2(x?1)???lim(12x(2x?1)ln(1?2x)?x?0?2x)??2x2(2x?1)???elimx?(x?1)ln(1?x)2x?(2x?x?0x2?elim1)ln(1?2x)x?02x2
0?0elim?ln(1?x)?2ln(1?2xx?02x?elim)x?04x
??ee2?e?2.
3、求p的值,使?b2007a(x?p)e(x?p)2dx?0.
解:
?b2007t?x?p?p20072a(x?p)e(x?p)2dx??ba?ptetdt
被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即: a?p??b?p, 解得: p??a?b2. 4、计算
?abmax{b2x2,a2y2}0dx?0edy,(a?0,b?0).
5
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