大学物理 第10章 稳恒磁场(2)

10-14 穿过S面的磁通量为 ∵ B??0Ir (r?R) 2?R2???0Il???B?dS?2?R2?7?R0rdr??0Il 4? ?10?10?1?10Wb 10-15 （1）r?a，由安培环路定理可得

?6B12?r? （2）a?r?b

?0I2?r2?aB1??0Ir 22?a习题10-15图

B22?r??0I （3）b?r?c

B2??0I 2?r?I?(r2?b2)?c2?r2B32?r??0?I??2?0I22?2?(c?b)c?b??

22?I(c?r)B3?022?r(c?b2) （4）r?c,B4?0

10-16 （1）如图示，过P点作一半径为r的圆形回路，圆心为O，由安培环路定律可得 B2?r?u0NI,B??0NI 2?r 故绕线环内磁感强度B的大小与径向距离r成反比。 （2）通过矩形载面的磁通量为

??r2?NI?NIr???d???B?dS??0hdr?0hln2

r12?r2?r1?习题10-16图

?0NIhln??2?10?7?1000?1.7?5?10?2?ln1.6 2??8?10?6Wb10-17 设有1、2无限大载流平面，各载有反向等值面电流K，如图，先计算载流平面1产生的磁感强度B1。根据对称性分析，P点B1的方向应平行于平面，方向向上（沿Y轴），

?????B与P点对应的另一侧1应与B1等值反向，故过P点作矩形回路L1，如图示，由安培环路

定理可得

103

?L1??B1?dl??0Kab 即 B12ab??0Kab

???B1?0Kj

2这表明：无限大载流平面产生均匀磁场，与距离无关。 （1）二平面间P点的磁感应强度

?载流平面（1）在P点产生B1方向平行平面向上，载流平面（2）

在P点产生B2方向也平行平面向上，故P点的合磁感应强度为

?习题10-17图

????B?B1?B2??0Kj

（2）二平面之外空间的磁感应强度由分析可得

???B?B1?B2?0

10-18 内部具有空腔的载流柱体产生的磁场计算，通常采用挖补迭加法。即假定空腔部分通有等值而反向的均匀电流，其电流密度与实体部分的相同。这样取代的结果，其等价磁场分布即为均匀载流I1圆柱体（半径为R）和反向均匀载流I2的圆柱体（半径为r）二者磁场的迭加。本题实体部分的电流密度为J?I?(R?r)22，故应假设空腔内通地?J。

设载流I1的圆柱体产生的磁场为B1，载流I2的圆柱体产生的磁场为B2，则其在空间各点的磁场为

?????B?B1?B2

（1）轴线O上的磁感强度

由于在I1的轴线上，故B1?0，而O轴在I2之外相距O?轴为a， 故得

B0?B2??0I2??0J?r2 2?a2?a22 ??0I?r?0Ir ?22222?a?(R?r)2?a(R?r)习题10-18（a）图

?。 B0的方向垂直O轴向上（与I2方向形成右螺旋）

（2）轴线O?上的磁感强度

因为B2?0，而O?在I2的轴线上，且OO??a?R，故

104

BO??B1? ??0I1?0a?02a?J?R?Ja

22?R22?R2I22?0a2?(R?r)??0Ia2?(R?r)22

?BO?的方向与I1构成右螺旋，故垂直O?向上。

P点的磁感强度：

???BP?B1?B2

由于I1和I2方向相反，P在O、O?之左侧，故B2与B1反向，即

??BP?B1?B2??0I1a?0I2 ?2?R22?(2a)?0J?a?R2?r2?????2?2??R2a??

22?I(2a?r)?04?a(R2?r2)?Bp方向垂直OO?联线向下。

（3）证明空腔内的磁场是均匀的。

在空腔内任取一点A，如图示，则二反向电流I1、I2在A点产生的磁场为

??? BA?B1?B2

由于A点既在I1体内，又在I2体内，故

??????????B1?0(J1?r1),B2?0J2?r2且J2??J1

22????0???0??(J1?r1)?(J2?r2) ∴ BA?B1?B2?22 ?因为J1?a，故BA的大小为 BA?习题10-18（b）

?0??????J1?(r1?r2)?0(J1?a) 22????02J1a??0Ia2?(R?r)22为一恒量

???BA的方向由J1?a定，即垂直OO?联线向上，这表明空腔内为均匀磁场。

105

???10-19 （1）电流元所受磁力由按培定律df?Idl?B可得

df1?BIdl1sin60??8.0?10?2?20?1?10?4? ?1.39?10N, df1方向垂直纸面向外。

?43 2df2?BIdl2sin135??8.0?10?2?20?1?10?4? ?1.13?10N df2方向街纸面向里。 （2）直线电流在均匀磁场中受磁力为f?IBlsin?，因此

?42 2习题10-19图

fab?IBlsin45??IB2R?2/2?IBR

?20?8.0?10?0.2?3.2?10N fab方向垂直纸面向里，fcd??fab

（3）如图示，在圆弧上任取一电流元Idl，它所受到的磁力为

?2?1????df?Idl?B?IBsin??dlK

由于bc弧上所有电流元的df均指向K。

????∴ fbc??IBsin?dlK

???IRB?sin?d?K?IBRK0

???20?8?10?2?0.2K?3.0?10?1KN?fbc方向垂直纸面向外， fda??fbc

?/210-20 （1）导轨光滑，B垂直圈平面，故ab杆上所受磁场力为

?f?IBl?50?0.5?1.0?25N

?故ab杆向右平移，欲保持杆静止，须加一等值反向的外力f???f0。 f的方向垂直ab向右，

（2）导轨非光滑时，如电路平面与B正交，则杆ab受到摩擦力为

fr??mg?0.6?1?9.8?5.88N，因为fr?f，故不能保持杆静止。欲要使杆静止，则

?B应与电路平面斜交，以减少ab所受磁场力的水平分力f?，当fr?f?时，即达到平衡，

106

设此时B与电路平面法线n的交角为?,见图示，ab杆上所受磁力的水平分力为

??f??fcos??IBlcos?

欲保持平衡，则要求

?f??fr??N ?N?IBlsin??mg?s??(mg?IBslin?) ∴ IBlco?B??mg

Il(?sin??cos?)习题10-20图

B是?的函数，由于B的分子为常数，欲使B值为极小值，则必须 满足极值条件

d(?sin??cos?)?1?0 d?即 ?cos??sin?,tg??? ∴ ??tg?1??tg?10.6?31? 此时B的大小为

Bmin?0.6?1.0?9.8?0.1T

50?1.0?(0.6sin31??cos31?)故Bmin的方向必须向左倾斜31°。 10-21 （1）DC边所受磁力为

FDC?I2B1b??4?0I1I2b10?20?0.2?2?10?7?

2?d0.01 ?8?10N

?FDC方向垂直DC向左。

EF边所受磁力为

FEF?I2B1b??0I1I2b10?20?0.2?2?10?7?8?10?5N

2?(d?a)(0.01?0.09)?FEF的方向垂直EF向右。

CE边所受磁力为

FCE?dF?I2Bdl?

???0I1I2d?adl ?d2?l107

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