高数竞赛习题(3)

例13（1）已知f(x)可微，

?x1f(x)dx?f(x)?1 求f(1),f(x) 2f(x)?x 解：在

?x1f(x)dx?f(x)?1中，令x?1，f(1)?1

f2(x)?xx对

?1f(x)dx?f(x)?1两边求导 2f(x)?x 得

f(x)ydy?，令，得 y?f(x)?f(x)?f2(x)?xy2?xdx

dxx??y，套用线性微分方程的通解公式x?y2?cy dyy 代入初始条件f(1)?1，x?y2，f(x)?

x（f(x)??x舍，不满足f(1)?1）

（2）（首届竞赛真题）设f(x)连续，且当x??1时，f(x)[求f(x).

解：令F(x)? f(x)[?x0xexf(t)dt?1]?,

2(1?x)2?x0f(t)dt?1,则F?(x)?f(x), 且F(0)?1

?x01f(t)dt?1]?[F2(x)]?

2xex 从而 F(x)??dx?2(1?x)2xex1xdx??xed?(1?x)2?1?x

xexxexexxx??edx???e??C ??1?x1?x1?xex 由F(0)?1，得C?0，从而 F(x)?

1?x f(x)?F?(x)?xex2(1?x)32

1112?1?x?f(x)dx 求?f(x)dx 例14 （1）若f(x)?001?x2112f(x)??1?xf(x)dx两边在[0,1]积分 解：对2?01?x 11

?101f(x)dx??01?x21d?x?101?2xd??x10(f) xdx 设

?10f(x)dx?a，得a??4

??4a?a??4??

从而

?10f(x)dx??4??（2）设f(x)在[0,1]上连续，且满足f(x)?ex?x 解：f(x)?ex?x?10f(x)dx 求f(x)

10?10f(x)dx?f(x)?ex?x?f(x)dx

两边在[0,1]上积分 令

?10f(x)dx??edx??01x10xdx??f(x)dx

01?102f(x)dx?a， 即得 a?2?a?a?6

3 从而 f(x)?ex?6x

例15 （1）下列不等式中正确的是（ A ） （A）2e?14??e02x2?xdx?2e （B）0??e022x2?xdx?2e

?14 （C）2e2?解：f(x)?e

?20ex?xdx?e3 （D）以上都不对

在[0,2]上最大值为M?e，最小值m?e102x2?x2?14

（2）设f(x)是一个连续函数，证明：存在??[0,1]，使

?f(x)x2dx?1f(?) 3证明；f(x)在[0,1]上连续，则存在最大值M?f(x1)，m?f(x2)， 由估值不等式

11111f(x2)?f(x2)?x2dx??f(x)x2dx?f(x1)?x2dx?f(x1)

00033?f(x2)?3?f(x)x2dx?f(x1)

01由介值定理，???[0,1]，使得f(?)?3?10f(x)x2dx

（3）设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)?1,则方程2x??x0f(t)dt?1在[0,1]上（ A ）

（A）只有一个根 （B）有二个根 （C）.有三个根 （D）无根 解：令F(x)?2x? 则F(x)?2x??x0f(t)dt?1，由于f(x)在[0,1]上连续，

?x0f(t)dt?1在[0,1]上连续，可导

12

且F(0)??1，

F(1)?2??10f(t)dt?1?0（f(x)?1,?10f(t)dt?1）

由零点定理，2x??x0f(t)dt?1在(0,1)内至少有一根

又F?(x)?2?f(x)?0，x?[0,1]，因此只有一根。 （4）设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续可导，且满足f(1)?2求证：在(0,1)内至少有一点?，使f'(?)???102xf(x)dx?0

f(?)?（积分第一中值定理与罗尔定理）

证明：f'(?)??f(?)??f(?)??f?(?)?0

令F(x)?xf(x)，由于f(x)在闭区间[0,1]上连续可导，

则F(x)在闭区间[0,1]上连续可导 又

?102xf(x)dx积分第一中值定理?11?f(?)，由条件f(1)?2?2xf(x)dx?0可得

02?1?f(1)??f?(?)F? ( F(1) 由Rolle定理，至少存在一点??(0,?)?(0,1)，使F?(?)?f(?)??f?(?)?0 （5）设f(x)在[0,1]上可导，f(0)?f(1)?0.且在[0,1]上f'(x)?M

求证：

?10f(x)dx?M（积分第一中值定理与Lagrange中值定理） 4证明：f(x)在[0,1]上可导，则?x?[0,1]，

有f(x)?f(0)?f?(?)x?f(0)?0f?(?)x ??(0,x )0?)?f?(?)(1x?)??f f(x)?f(1 f(x)? f(x)?f(1?)?() (x1?(x),1) ???f()x??f?()?xM xM? 1x1201??f()?(1x?)?f?(?)1?x1201

?10f(x)dx??f(x)dx??1f(x)dx??Mxdx??1M(1?x)dx?22M 4 13

（6）（06年真题）求最小的实数，使得满足解：

?101|f(x)|dx?1的连续函数都有

?10f(x)dx?C

?10f(x)dx?x?t?10f(t)2tdt?2?|f(t)|dt?2

0 另一方面令fn(x)?(n?1)xn，则 而

?10|fn(x)|dx??fn(x)dx??(n?1)xndx?xn?1|11 0?00111?10fn(x)dx?2?tfn(t)dt?2?(n?1)tn?1dt?00x?t12(n?1)?2(n??)

n?2 从而最小实数C?2

?1f2(x)?1f(x)?例16 （1）（04年真题）??2dx???2dx,(t?0) 20t?x202tt?x??证明：F(x)?2f(x)t?x22G(x)?1t?x22，应用Cauchy—Schawazi 不等式

??10F(x)G(x)dx?2??F2(x)dx??G2(x)dx0011得

????0121f(x)1f(x)1?dx?dx?dx??0222222?0t?xt?xt?x?102

＝

?f2(x)1xdx?arctant2?x2tt10f2(x)??2dx202tt?x?1

例17（05年真题）（1）在某平地上向下挖一个半径为R的半球形池塘，若某点泥土的密度为??er2R2，其中r为此点离球心的距离，试求挖此池塘需作的功。

r2R2解：建立坐标系（如图）应用微元法。在点(r,?,?)处的泥土质量为e该点与水平面的距离为rcos?，所做功的微元为dW?grcos?e挖池塘所需作功为W?r2R2dV

dV

???dW????grcos?e??2?0r2R2dV

r2R2??d???02d??grcos?e02Rrsin?dr??g?re02R3r2R2dr

R22r??gre2

RR2?0?gR22?R0er2R2dr?2?gR42

14

（2）（06年文专科真题）求由y?0,y?周所得的旋转体体积。

1x,y?lnx围成的平面图形绕x轴旋转一e1x,y?lnx 交点为(e2,1) （配图） ee21e2221xdx??lnxdx?x3/2e?(xlnx?x) 面积 S??0解：y?e2111?e2? 0e03e262 体积 V??e2?1exdx??e221??lnx?dx?1??022?e2?2?e2?1??2

（两次分部积分）

（07年真题）求p的值，使

?b2007e(x?p)2a(x?p)dx?0

?b2007u?x?p奇函数a(x?p)e(x?p)2dx??b?pa?pu2007eu2dx?0

又f(u)?u2007eu2，f?(u)?2007u2006eu2?2u2008eu2?0

从而f(u)至多与x轴相交一次。从而有 [a?p,b?p]关于原点对称，a?p??(b?p)?p?a?b2 错误：仅仅有f(x)为奇函数这个条件，且

?baf(x)?0不能推出b??a

3? 反例：??2sinxdx?0

2

即

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