《数学分析》第十七章 多元函数微分学

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )

一． 可微性与全微分：

221． 可微性：由一元函数引入.?((?x)?(?y))亦可写为??x???y,

(?x , ?y)?( 0 , 0 )时(? , ?)?( 0 , 0 ).

2． 全微分:

例1 考查函数f(x,y)?xy在点( x0 , y0 )处的可微性. [1]P105 E1

二. 偏导数:

1. 偏导数的定义、记法:

2. 偏导数的几何意义: [1]P109 图案17—1. 3. 求偏导数:

例2 , 3 , 4 . [1]P142—143 E2 , 3 , 4 .

?x3?y22, x2?y2?0 ,例5 设f(x,y)???x2?y

??0 , x2?y2?0 .证明函数f(x,y)在点( 0 , 0 )连续 , 并求fx( 0 , 0 )和fy( 0 , 0 ).

x??co?s,y??si?n证 (x,yl)?im(0,0)f(x,y)????????l?2(?co3s??sin2?)???i?m0? ?l?(?co3s??sin2??im0?)?0?f(0,0). f(x,y)在点( 0 , 0 )连续 . f 0 )?lf(x,0)?f(0,0)x3 x( 0 ,x?im0x?lx?im0x|x|?0,

ff(0,y)?f(0,0)y2 y( 0 , 0 )?limy?0y?limy?0y|y| 不存在 .

Ex [1]P116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .

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三. 可微条件:

1. 必要条件:

Th 1 设(x0 , y0)为函数f(x,y)定义域的内点.f(x,y)在点(x0 , y0)可微?

fx(x0 , y0)和fy(x0 , y0)存在, 且

df(x0,y0)?df(x0,y0)?fx(x0 , y0)?x?fy(x0 , y0)?y. (证)

由于?x?dx , ?y?dy,微分记为df(x0,y0)?fx(x0 , y0)dx?fy(x0 , y0)dy. 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.

两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.

xy? , x2?y2?0 ,?22例6 考查函数f(x,y)??x?y在原点的可微性. [1]P110 E5 .

? x2?y2?0 ?0 , 2. 充分条件:

Th 2 若函数z?f(x,y)的偏导数在的某邻域内存在, 且fx和fy在点(x0 , y0)处连续 . 则函数f在点(x0 , y0)可微. (证) [1]P111 Th 3 若fy(x,y)在点(x0 , y0)处连续, fx(x,y)点(x0 , y0)存在,则函数f在点

(x0 , y0)可微.

证 f(x0??x , y0??y)?f(x0 , y0)

??f(x0??x , y0??y)?f(x0??x , y0)???f(x0??x , y0)?f(x0 , y0)?

?fy(x0??x , y0???y)?y?fx(x0,y0)?x???x 0???1, ??0 ?fy(x0,y0)???y?fx(x0,y0)?x???x ??0 ?fx(x0 , y0)?x?fy(x0 , y0)?y???x???y.

即f在点(x0 , y0)可微 .

要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .

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??1?2222(x?y)sin, x?y?0 ,?22x?y例7 设f(x,y)??

?220 , x?y?0 .?验证函数f(x,y)在点( 0 , 0 )可微, 但fx和fy在点( 0 , 0 )处不连续 . 证

f(x,y)??x2?y2sin1x?y22?0 , (x,y)?(0 , 0).

因此f(x,y)??(?),即 f(x,y)?f(0,0)?0?x?0?y??(?),f在点(0 , 0)可微,

fx(0,0)?0 , fy(0,0)?0. 但(x,y)?( 0 , 0 )时, 有

fx(x,y)?2xsin1x?y22?xx?yx22cos1x?y22,

沿方向y?kx, limx?0xx?y1x?y2222?limx?0|x|1?k2不存在, ?沿方向y?kx, 极限

limx?0xx?ylim22cos不存在; 又(x,y)?( 0 , 0 )时, 2xsin1x?y22?0,

因此,

(x,y)?(0,0)fx(x,y)不存在, fx在点( 0 , 0 )处不连续.由f关于x和y对称,fy也在

点( 0 , 0 )处不连续 .

四. 中值定理:

Th 4 设函数f在点(x0 , y0)的某邻域内存在偏导数. 若(x,y)属于该邻域, 则存在

??x0??1(x?x0)和??y0??2(y?y0), 0??1?1 , 0??2?1, 使得

f(x,y)?f(x0,y0)?fx(? , y)(x?x0)?fy(x0 , ?)(y?y0). ( 证 ) 例8 设在区域D内fx?fy?0. 证明在D内f(x)?c.

连续、偏导数存在及可微之间的关系： 可微性的几何意义与应用：

1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P115.

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五. 六.

Th 5 曲面z?f(x,y)在点P(x0 , y0 , f( x0 , y0 ))存在不平行于Z轴的切平面的充要条件是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微，则曲面z?f(x,y)在点

P(x0 , y0 , f( x0 , y0 ))处的切平面方程为 (其中z0?f(x0,y0))

z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0)， 法线方向数为? fx(x0,y0) , fy(x0,y0) , ?1 ， 法线方程为

??x?x0y?y0z?z0. ??fx(x0,y0)fy(x0,y0)?1例9试求抛物面 z?ax2?by2在点M(x0,y0,z0)处的切平面方程和法线方程 .

[1] P115 E6

3.

作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.

3.96例10 求1.08的近似值. [1] P115 E7

例11 应用公式S?1absinC计算某三角形面积.现测得a?12.50,b?8.30 , C?30?. 2? , C的误差为?0.1 . 求用此公式计算该三角形面积时的绝若测量a , b的误差为?0.01对误差限与相对误差限. [1] P116 E8 Ex [1]P116—117 5—14 ；

§ 2

复合函数微分法 （ 5 时 ）

简介二元复合函数 : z?f(x,y) , x??(s,t) , y??(s,t). 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P327—328 . z?f(x,y) , x??(s,t) , y??(s,t);

??(s,t) , y??(s,t), z??(s,t); u?f(x,y,z) , x

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u?f(x,y,z) , x??(s,t,z) , y??(s,t,z).

一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.

Th 设函数 x??(s,t) , y??(s,t)在点(s,t)?D可微, 函数z?f(x,y)在点

(x,y)???(s,t) , ?(s,t)?可微 , 则复合函数z?f??(s,t) , ?(s,t)?在点(s,t)可微, 且

?z?s?z?t(s,t)??z?x?z?x(x,y)?x?s?x?t(s,t)??z?y?z?y(x,y)?y?s?y?t(s,t),

(s,t)?(x,y)(s,t)?(x,y)(s,t). ( 证 ) [1] P155

称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.

对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.

链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P156的例.

对外m元f(u1,u2,?,um), 内n元uk??i(x1,x2,?,xn) (k?1 , 2 , ? , m), 有

m?f?f?uk ， i?1 , 2 , ? , n. ???xik?1?uk?xi外n元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 z?ln(u2?v) , u?ex?y , v?x2?y. 求

2?z?z和. [1] P157 E1 ?x?y?z?z和. ?x?y例2 z?uv?uv, u?xcosy , v?xsiny. 求

22例3 z?2x?y?2?(3x?y2), 求

?z?z和. ?x?y例4 设函数f(u,v,w)可微 . F(x,y,z)?f(x,xy,xyz). 求Fx、Fy和Fz. 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :

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