同济大学高等数学试卷2005

2005—2006学年第二学期考核试卷（A）

《高等数学B》（下）

一． 简答题（每小题6分，共30分）

1.写出函数f?x,y??

xy的定义域，并求limf?x,y?. ?x,y???0,0?xy?1?1?2z2.设函数z?z?x,y?由方程x?y?z?e所确定，求.

?x?yz

3.函数z?x2?y2?xy在点??1，1?处沿什么方向的方向导数最大？最大方向的方向导数值为多少？

?6

?64.求?dy?0cosxdx. xy

5.求???x2?y2?xz?dS,其中?为圆柱体x2?y2?2被平面z?0和?

z?4所割下的部分.

二.?10分?记曲面z?x2?y2在点??1，0，1?处的切平面为?，立体?由曲面z???1?x?y?及平面?所围成，求?的体积.22

三.(10分)计算曲面积分

???x?y?dydz??2y?z?dzdx??3z?x?dxdy,其中?为上半球面222?

z?1?x2?y2的上侧.

???22四.?12分?设质点在平面立场F?xyi?xyj的作用下从原点Ox2y2沿光滑曲线L移动到椭圆??1上位于第一象限内的点M?x0,y0?处.94??1?试求F所作的功W表达为曲线积分，并证明W与路径无关；??2?当x0,y0分别取何值时，F所作的功最大？

五?10分?将函数f?x????x2?0?x???展开成余弦级数.

narctann?1y六.?12分?设a0?,an???dxdy?n?1,2,3,??,2241?x??1?y?D?其中D???x,y?|0?y?x,0?x?1?.??1?求出a,?n?1,2,3,??;n

?2?求出幂级数?an?0?nxn的收敛域及和函数.

七.?每小题8分，共16分?1.求出椭球面x2?2y2?3z2?21上的点M,使该点处的切平面?过已知直线L:x?6y?3z?1??.21?22.设数列un满足limnun?1.n???n?1n?1?n

?1?证明：级数???1??u?2?判定级数???1??un?1n?1?un?1?收敛并求和；?un?1?是条件收敛还是绝对收敛.n???解：1n??2x0,4y0,6z0?,取n??x0,2y0,3z0?,s??2,1,?2?,???1?n?s?x0?y0?3z0?0,切平面方程x0x?2y0y?3z0z?21点M?6,3,1?在平面上。6x0?6y0?3z0?21,x02?2y02?3z02?21,解得M1?0,3,1?,M2?4,?1,1?.?2??3?

1?1?解：2?1?un??o??,?un?0,limun?0,S2n??u1?u2???u2?u3?????u2n?u2n?1?n??n?n??u1?u2n?1?u1?n???,S2n?1?S2n?(u2n?1?u2n?2)?u1,?limSn?u1.n???2??limn?un??n?un?1??2,???un?un?1?发散，所以???1?n?1n?1??n?1?un?un?1?条件收敛.n1或：?un??Sn?u1???un??,??(uk?uk?1)??,?n???.nk?1

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