矩阵分析在通信中的应用(2)

落系数?p,m,r(t)为：

1?p,m,r(t)?L

?al?0L?1m(?)ar(?TxplRxpl)vplexj2?fdcos(?Tpl)?vp,m,r(t)ej?p,m,r(t) （3.13）

每一个到达路径经历的衰减为?p,l，假定?p,l是由随机过程产生，且???1。通常在仿真时认为AOD均匀分布在0～2?，这样可以得到经典功率谱。在固定m和r的情况下，

Tx而在固定时间t时，不同的m和r对应的?p,m,r?p,m,r和?p,m,r表征着时间域的衰落特性；

和?p,m,r则反映阵列的空间特性，其相关性由两个阵列传播响应矢量am(?p,l)和ar(?p,l)决定。记第p个空间主散射体产生的可分辨多径的时延?p，且一般假设它们之间的独立过程互相独立。不同的传播环境对应不同的?p,l分布。

有上述分析可以知道：当本地散射体较少时，由于发射机周围本地散射体的作用，在

主反射体和接收机之间的距离相对较大时，接收天线到达角的角度扩展较小，此时接收端仅仅引起时间衰落，而无空间衰落；而当接收天线周围的本地散射体较多时，造成较大的角度扩展，此时接收端产生空时衰落。

3、相关性矩阵

MIMO信道中发射端和接收端天线之间的相关的程度就是相关性,相关系数?在数学上定义为：

RxTxTxTr??a,b?

(Ea?E?a?)(Eb?E?b?)2222??Eab??E?a?Eb??????? （3.14）

其中，符号?,?表示求相关系数，符号???表示复数共轭。根据a和b的性质的不

?

同，可以定义3种不同的相关系数：复数相关系数、包络相关系数和功率相关系数。考虑

两个复数变量x和y：

复数相关系数?c，此时a?x,b?y：

?c?x,y （3.15） 包络相关系数?e，此时a?x,b?y：

?e?x,y （3.16）

功率相关系数?p，此时a?x,b?y：

?p?x,y2222 （3.17）

限于测量设备等因素，以前对信道相关系数的探讨更多的集中于包络相关系数和功率相关系数。然而，对于MIMO信道建模来说，复数相关系数包含了能反映信道特性的较全面的信息——幅度和相位，具有更好的性能。对于Rayleigh衰落信道，复数相关系数?c定义式和功率相关系数的定义式有如下关系：

?p??c （3.18） 为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数a即a?l?mn2?l?mn服从零均值的复高斯分布，

?l?的模amn服从Rayleigh分布。并对该统计MIMO信道模型进一步作出如下假设：

（1）同一多径下传输系数的平均功率相等 Pl?Ea??l?2mn?对所有n?? 1,2,?N??m??1,2,?M? （3.19）

（2）信道为广义平稳非相关散射信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输

系数不相关

a?l1?mn,a?l2?mn?0 当 l1?l2 （3.20）

上式中的符号a,b表示求a和b之间的相关系数；

（3）接收天线衰落的两个系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。定义接收端第m1根天线和第m2根天线之间的相关系数为：

RX ?m1m2?am1n,am2n （3.21）

上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的天线无关。只要发射端的天线间距并不太大，而且每根天线具有相同的辐射模式，这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相同的散射体上，在接收端会产生相同的PAS，也会产生相同的空间相关函数。同理，定义发射端第n1根天线和第

n2根天线之间的相关系数为：

TX ?n1n2?amn1,amn2 （3.22）

由（3.21）和式（3.22），分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵RRX和RTX为：

RX??11?RX???21???RX???M1RX?12RX?22?RX?M2 RRX???1RXM???2RXM? （3.23） ???RX???MM??M?MTX??11?TX?21?R? TX???TX???N1TX?12TX?22?TX?N2???1TXNTX???2N? (3.24)

???TX???NN??N?N但是，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩阵Hl提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输系数的空间相关性。

为此，定义

11 ?n2 m22?am1n1,am1n2 （3.25）

nm在上述第3个假设的条件下，从理论上可以证明，式（3.20）与下式等价：

nmRXTX?nm??nn?mm112212112 （3.26）

根据式（3.26），MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与接收端相关[17]

矩阵的Kronecker乘积：

RMIMO?RTX?RRX (3.27) 上式中，符号?表示矩阵的Kronecker乘积运算。

在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（3.27）对RTX和RRX作矩阵的Kronecker乘积，得到MIMO信道的整体相关矩阵RMIMO，然后对RMIMO作相应的矩阵分解，从而得到MIMO信道的空间相关矩阵。

角度功率谱PAS主要有3种分布：均匀分布、高斯分布和拉普拉斯分布。讨论将基于上述3种分布的PAS，给出天线元之间的相关系数与天线的归一化间距之间的函数关系。在讨论中，仍然假设天线为全向天线，天线阵列结构为ULA，并且电波以波簇(cluster)的形式传播，每一波簇都具有相同的PAS谱。

(1)均匀分布PAS

多簇的均匀分布PAS的表达式为：

PASu(?)??Qu,k?????(?0,k???k)????????0,k???k???k?1Nc （3.28）

其中，?(?)为单位阶跃函数，Nc为波簇的数目，?0为平均到达角AOA，??为AOA的变化范围。考虑到潜在的功率不平衡波簇，可以推出归一化常数Qu,k使得PASu(?)满足概率分布函数的要求：

? ?PAS??u(?)d???Nc?0,k???kk?1?0,k???Q?ku,kd??1 （3.29）

由上式可得

令D?2?d2?Qu,k???1k?1Nc （3.30）

?，其中，d为天线元之间的间距，?为载波波长，d?为天线元之间

的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系

函数：

?

RXX(D)??cos(Dsin?)PAS(?)d??? （3.31）

虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数

定义为：

?

RXY(D)??sin(Dsin?)PAS(?)d??? (3.32)

将均匀分布PAS的表达式代入RXX(D)的表达式（2.31），得到：

Nc

RXX,U(D)?J0(D)?4?Qu,k?k?1J2m(D)cos(2m?0,k)sin(2m??k)2mm?1 （3.33）

?其中，Jm(?)为m阶第一类贝塞尔函数。同样地，将PAS的表达式代入到式（3.32），得到：

RXY,U(D)?4?Qu,k?k?1m?0Nc?J(2m?1)(D)2m?1sin??2m?1??0,k?sin??2m?1???? （3.34）

(2)高斯分布PAS

高斯分布PAS的表达式为：

PASG(?)??k?1NcQG,k2??G,k?(???0)2?exp????????0,k???k?????????0,k???k?????22?G,k??（3.35）

同样可以推出其归一化常数QG,k应该满足：

Nc?QG,kerf(

k?1??k)?12?G,k （3.36）

其中，erf(?)为复数的误差函数。将PASG(?)的表达式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的复基带信号的实部与虚部的两个互相关函数分别为：

RXX,G(D)?J0(D)??QG,k?J2m(D)cos(2m?0,k)exp(?2m2?2G,k)k?1m?1Nc?

??????????kk???Re?erf?jm2?G,k?erf??jm2?G,k???2?????2?G,k?G,k????? （3.37） ?

和

1??RXX,G(D)?J0(D)??QG,k?J?2m?1?(D)sin(?2m?1??0,k)exp(?2?m???2G,k)2??k?1m?1 ??????????k1??k???Re?erf?j?m??2?G,k?erf??jm2?G,k???2?????2?2?G,k??G,k?????（3.38） ?

其中，Re?x?表示取x的实部。 (3)拉普拉斯分布PAS

拉普拉斯分布的PAS谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一

种分布。其表达式为：

Nc?2

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