人大版线性代数课后习题答案

第1章 矩 阵 习 题 一

(B)

1、证明：矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为n阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。若矩阵A为n阶对角矩阵. 即 令n阶对角矩阵为：

?a1??0A=????0??b1??0 任何对角矩阵B设为????0??b1a1??0而BA=????0?0b2a2?0???00a2?00b2?0???????0??0?, ???an??0??a1b1??0??0，则AB=????????0bn??0a2b2?0?????0?， ???anbn??0??0?，所以矩阵A与所有n阶对角矩阵可交换。 ???bnan??b12b22?bn2???b1n??b2n?， ???bnn???b11??b21再证充分性，设 A=????b?n1与B可交换，则由AB=BA，得：

?a1b11??a1b21????ab?1n1a2b12a2b22?a2bn2???anb1n??a1b11??anb2n??a2b21=

???????anbnn???anbn1a1b12a2b22?anbn2???a1b1n??a2b2n?， ???anbnn??比较对应元素，得

(ai?aj)bij?0，(i?j)。 又ai?aj，(i?j)，所以

bij?0，(i?j)，

即A为对角矩阵。

2、证明：对任意m?n矩阵A，AAT和ATA均为对称矩阵. 证明：(AAT)T=(AT)TAT=AAT ， 所以，AAT为对称矩阵。 (ATA)=A (A)=AA， 所以，ATA为对称矩阵。

3、证明：如果A是实数域上的一个对称矩阵，且满足A2?O，则A=O. 证明：设

?a11??a21 A=????a?n1a12a22?an2???a1n??a2n?， ???ann??T

T

TT

T

其中，aij均为实数，而且aij?aji。

由于A2?O，故 ?a11?a2T?21A=AA=????a?n12

a12a22?an2???a1n??a2n????ann???a11??a12????a?1na21a22?a2n???an1??an2?=0。 ???ann??取A的主对角线上的元素有

222 ai1?ai2???ain?0， （i=1,2,…,n）

因为，aij均为实数，故所有aij=0，因此A=O。

4、证明：如果A是奇数阶的反对称矩阵，则detA=0. 证明：设

?a11??a21 A=????a?n1a12a22?an2???a1n??a2n? ???ann??为奇数阶反对称矩阵，即n为奇数，且

aij=-aji，i,j=1,2,…,n，

从|A|中每行提出-1，得

0?a120??an2????a1n?a2n?00a210?a2n???an1an2?0 |A|=(?1)n?a21??an1=(?1)na12?a1n=(?1)n|AT|=-|A|

（因为n为奇数，且|AT|=|A|），故得|A|=0。

5、设A、B、C均为n阶矩阵，且满足ABC=E，则下列各式中哪些必定成立，理由是什么？

（1）BCA=E； （2）BAC=E； （3）ACB=E； （4）CBA=E； （5）CAB=E。

答：第(1),(5)必定成立。因为ABC=E，说明ＢＣ是Ａ的逆矩阵，AB是Ｃ的逆矩阵，则(1),(5)必定成立。但是由于可能有AB?BA，BC?CB，所以其他的不一定成立。

6、设A、B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中有哪些一定成立？为什么？

（1）(A?1)?1??T?(A)?T?1?1? ； （2）(AT)T???1?(A)??1?1T?；

（3）(Ak)?1?(A?1)k （k为正整数）； （4） (kA)?1?k?1A?1 （k为正整数）； （5）detA?1?(detA)?1 ； （6）(A?B)?1?A?1?B?1；

（7）(AB)?T?1??O?1T?1T?(A)(B) ； （8）??B?A??O???1?O???1?B?A??。 O???1答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。 7、已知???12?3?,???1?T12T1?Tn?，令A???，求A（n为正整数）. 3?解：因为An=(??)(??)?(??) =?(??)?(??)?，

???????n?1个TTTT其中 ??T?=?1?12?1?1?????2?=3， 3????3?121321??3?2?。 3??1????1?n?1n?1T所以 An=3??=3?2???3?

8、计算行列式

1?1?1x?1?11x?111x?1?1?1?1

11x?1

解：用Ｄ表示所给的行列式，把Ｄ分成两个行列式相加：

1?1?1x?1?11x?111x?1?1?1?10?1?1x?1?11x?111x?1?1?1?1Ｄ＝

111＋

00x

将右边第一个行列式的第一列加到第二、第四列，用－１乘第一列后加到第三列；将第二个行列式变成三阶行列式后再拆成两个三阶行列式相加，

100x00x00x000Ｄ＝

111?11x?11x?101x?11x?1?1 ?1－x?1?1?1－x0?1x ＝x4。

9、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且detA?a，detB?b。如果 C???B??OA??， O??求detC.

解：把C通过mn次的相邻换行之后，即可把C化为C1，且

C1???O?t=(?1)mndetBdetA=(?1)mnab。 故 deC?BO?? ?A?10、证明：n阶行列式

2a1a20a2???000?000?a22a1?00（1）

0?002a?00?(n?1)a;

n??2a12aa?b1aba?b1?000aba?b?00???000?000?aba?b?an?1n?1（2）

0?00?ba?b.

??a?b1证明：（1）令所给的矩阵为Dn，并按第一列展开得 Dn?2aDn?1?a2Dn?2，

所以 Dn?2aDn?1?a2Dn?2=3a2Dn?2?2a3Dn?3=4a2Dn?3?3a3Dn?4 =…=(n?1)an?2D2?(n?2)an?1D1=(n?1)an。

（2）令所给的行列式为Dn，并按第一列分成两个行列式相加，然后对第一个行列式从第一列开始，每列乘-b后往下一列加，即得

a1aba?b1?000a1?00n0aba?b?00???000???n?1???000?000?aba?bb0aba?b1?000aba?b?00???000?000?aba?bDn=

0?00+

0?00

??000?0an?2a?b1??a?b1a100a?00 =

0?00nnn?12?bDn?2 +bDn-1=a?bDn?1=a?baa12 =…=a?ba?ba???bn?1a?b=

nan?1?bn?1a?b。

11、证明：n阶行列式

2cos?112cos?1?00012cos??00?????000?2cos?1000?12cos??sin(n?1)?sin?（1）

0?00 ;

cos?112cos?1?00012cos??00???000?2cos?1000?12cos??cosn?.

（2）

0?00??证明：（1）令x?cos??isin?，y?cos??isin?，则有 2cos??x?y，xy=1。

而且由于sin??0，故x?y，从而由第十题的结果直接得

xn?1 Dn=

?yn?1x?y=

sin(n?1)?sin?。

（2）令所给的矩阵为Dn，按第一列展开，并应用（1）的结果，得

2cos?112cos?1?00012cos??00?????012cos??00000?2cos?1??000?12cos????000?2cos?1000?12cos?Dn=cos?0?00

1002cos?1?00sin?－

0?00=cos?sinn?sin?－

sin(n?1)?sin?

=

cosn?sin?=cosn?。

*n?112、设A是n阶矩阵(n?2)，求证：detA?(detA)*。

证明：由A*的定义可知 ，AA?(detA)E，两边取行列式，得

(detA)(detA)?(detA)。

*n下面进行讨论。1）若detA ? 0，则由上式立即就有 detA?(detA)*n?1 。

2）若detA ＝ 0，且 A = O，则 A*＝ 0，因而 detA*= 0 ，结论成立。 3）若detA ＝ 0，且 A ? O，此时必有detA= 0。因为若detA? 0，则A可逆，于

***是在 A*A?(detA)E＝O 两边左乘(A*)?1，得 A = O，与A ? O矛盾。即此时结论也成立。 证毕。

13、设A、B、C、D均为n阶矩阵，且detA?0，AC=CA.求证：

ACBD?AD?CB

证明：因为detA?0，所以矩阵A可逆。 根据矩阵的乘法，有 ???E?1??CAO??E???A??C?B??A?=??D???O?? ?1?CAB?D??B又AC=CA，因此，

ACBD=A??CA?1B?D

=?ACA?1B?AD

=AD?CB。 14、设3阶矩阵A、B满足关系式

A?1BA?6A?BA， ?1??3其中 A??0???0?0140?0??0? ?1??7?求B.

?1?1解：因为ABA?6A?BA ?(A?E)BA?6A

?B?6(A?1?E)?1AA?1

?1?1 ?B?6(A?E)

?3?所以， B=?0?0?0200??0?。 1??

15、设4阶矩阵 ?1??0 B??0??0??11000?1100??2??0??0,C??0?1?????01??120031204??3?， ?1?1??且矩阵A满足关系式A(E?C?1B)TCT?E，其中E是4阶单位矩阵。试将上式化简并求出矩阵A .

解：A(E?C?1B)TCT?E?AETCT?ABT(CT)?1CT?E ?ACT?ABT?E

? A?(CT?BT)?1。 ?1??2T?B=?3??4?012301?2100120??0?TT?1 ，再利用矩阵初等变换即可求出(C?B)。 ?0?0??001?20??0?。 ?0?1??而 CT?1???2所以 A=?1??0?

第1章 矩 阵

1、设

?2A???3?01?1???1?，B????2?2???112?? 5??求A?B,A?B,2A?3B.

?201?1???1?????2????211112??1????5???1?10121??； 3??解：A?B???3??2A?B???3?01?1???1?????2????22??3????5???5?3??； ?7???42A?3B???6?02?2???3?????4????6336??7????15???12?3?1?8??。 ??19?

2、设矩阵X满足X?2A?B?X，其中

?2A????1??1??0?，B????22????2??， 0??求X.

?x1解：设 X???x?3?x1?4则X?2A???x?2?3x2??， ?x4??2?x2??。 ?x4??x2?2???x1??B?X?，??2?xx4?4?3??利用矩阵相等的定义可得：

?2X????2??2??。 ?2?

3、某石油公司所属的三个炼油厂A1,A2,A3在1997年和1998年生产的4种油品

B1,B2,B3,B4的产量如下表（单位：万吨）

产 油 量 品 炼油厂 A1 A2 A3 1997 年 B1 B2 B3 B4 1998年 B1 B2 B3 B4 58 27 15 4 72 30 18 5 65 25 14 3 63 25 13 5 90 30 20 7 80 28 18 5 （1）作矩阵A3?4和B3?4分别表示三个炼油厂1997年和1998年各种油品的产量； （2）计算A?B与B?A，并说明其经济意义；

（3）计算

12(A?B)，并说明其经济意义。

?58?解：（1）A??72?65?2730251518144??5?， 3???63? B??90?80?2530281320185260535??7?； 5??2838329??12?， 8???121?（2）A?B??162?145?其经济意义表示三个炼油厂1997年和1998年两年各种油品产量的和。 ?5? B?A??18?15??203?2241??2?， 2??其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年之间各种油品产量的变化量。 ?60.5?1(A?B)?（3）?812?72.5?263026.51419164.5??6?， 4??其经济意义表示三个炼油厂在1997年和1998年两年各种油品的平均产量。

4、计算下列矩阵的乘积 ?3（1）??1??2?1??11?????2?2???35???14?； （2）??0???1?1??0???0???02??； ?3?（3）???0?02??1???3???0?1???1?? ； （4）?2??10???3???23?；

（5）?12?1??4???3??2? ； （6）??1?3??3???027?151?56????23???4??2????1?1??0?； ?7?3??

（7）?1?1??1?2??0?3??2?12100??2????1???1?。 ???1????2?5???44????7??1??5??。 ?0?0?? 。 0???3解：（1）??1??1?0?0?0??11?????22????36??。 ?1?? （2）??1??0???0???02??1???3???02??0????3???01??0????0???0 （3）???1??? （4）?2??1?3???2?1?3???2?3?2463??6?。 9?? （5）?12?1???3??2??14。 ?3???027?151?56????23???4??2????1?1???300?????18?7??23?3??7??45?。 ?2???4? （6）??1?3?

（7）?1?1??1?2??0?3?2100??2????1???1???5???1????2?1?2????3???1??15。

??2???5、如图，考虑边长为2的正方形V1V2V3V4：设其顶点和各边中点的坐标分别为y V7V4V3?0??2??2??0?V1?????,V2?????,V3?????,?,V8?????. ?0??0??2??1??1（1） 用矩阵A???1?1??分别左乘给定的 ?1??V8V6正方形各顶点和各边中点坐标，设得到的点依次为

W1,W2,W3,?,W8,试作出由这些点构成的平面图形；

O V1V5V2x （2）考虑矩阵

??cos A???sin???sin??? ?cos??分别在当???3和????2时，用A左乘原正方形各顶点和各边中点的坐标，若设所得到

的点的坐标U1,U2,?,U8和U1',U2',?,U8'分别作出由这两组点构成的平面图形。

解：(1) 以V1,V2,?,V8的坐标为列构造2?8矩阵V，令

?1W?AV???1??0???0?22401??0????1???02?2112031223?102101???1??21120??1??

则矩阵W的每一列依次为W1,W2,W3,?,W8的坐标。如图所示。

(2) 令 ?1?U?AV??2?3??2??0????0?131?1??3??02????1??0?2?33?132022021021120??1??3??2?.1??2?y W5W2 W6 W3xW7O WO 1 W8 W4

12321?32122?3?312?3?1则矩阵U的每一列依次为U1,U2,?,U8的坐标，如下图所示。

U3 U6 y

令

?0U??AV????1??0???0?0?22?21??0???0???020200?1221?202102?1211??.?0?120??1??U7

U2

U4

U8

O U1

U5

x

'''则矩阵U?的每一列依次为点U1,U2,?,U8的坐标。如图所示。

y U 1 O U ?5 U ?2 U ?7 U ?3 ?U ?8 U ?4 x U 6 6、设某港口在某月份出口到3个地区的两种货物A1,A2的数量以及它们一单位的价

?格、重量和体积如下表： 出 地 口 区 量 货物 A1 A2 北美 欧洲 非洲 单位价格 （万元） 0.2 0.35 单位重量 (t) 0.011 0.05 单位体积 (m) 0.12 0.5 32000 1000 800 1200 1300 500 试利用矩阵乘法计算： （1） 经该港口出口到3个地区的货物价值、重量、体积分别各为多少？ （2） 经该港口出口的货物总价值、总重量、总体积为多少？

?0.2?解：（1）?0.011?0.12?0.35??0.05?0.5???2000??1200?10001300?820800???=?82?500???84065576770335??33.8? 346??其中第一、二、三列分别表示北美、欧洲、非洲；

第一、二、三行分别表示价值、重量、体积。 ?820?（2）?82?840?65576770335??33.8?346???1??1810??????1?=?191.8? ?1??1956?????其中第一、二、三行分别表示总价值、总重量、总体积。

7、设A,B均为n阶对称矩阵，试判定下列结论是否正确，并说明理由。

（1）A?B为对称矩阵；

（2）kA为对称矩阵（k为任意常数）； （3）AB为对称矩阵。

证明：令n阶对称矩阵A=(aij)n?n，其中aij?aji，i=1,2,…,n ， j=1,2,…,n; n阶对称矩阵A=(bij)n?n，其中bij?bji，i=1,2,…,n ， j=1,2,…,n;

(1) 正确。

显然A+B =(aij?bij)n?n，又aij?aji，bij?bji，其中i=1,2,…,n ， j=1,2,…,n; 所以 (aij?bij)n?n=(aji?bji)n?n， 即 A+B为对称矩阵。

（2）正确。

显然kA=(kaij)n?n，又aij?aji，其中i=1,2,…,n , j=1,2,…,n;

所以 (kaij)n?n=(kaji)n?n， 即kA为对称矩阵。 （3）错误。

设对称矩阵A和B分别为： A???2?所以AB???5?

8、求所有与A可交换的矩阵

?4?12??2??B?， ??11??1??； ?3?

7??，显然AB不为对称矩阵。 5???1（1）A???1??1?0??A?； (2) ?0?1??0?1100??1?。 1??b??， d???a解：（1）显然与A可交换的矩阵必为二阶方阵，设为X，并令X???c?又 AX???a?c? XA???c?d??a?b?a?? ， ?b?d?b??， d??b由可交换条件AX=XA，可得 b=0,a?d（其中a,d,c为任意常数），

?a0??。 ?a?即 X???c??a?（2）显然与A可交换的矩阵必为三阶方阵，设为X，并令X??d?g??a?d?又 AX??d?g?g??a? XA??d?g?b?ee?hhc?f??f?i?， i??behc??f?， i??a?bd?eg?hb?c??e?f?， h?i??由可交换条件XA=AX，可得 d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均为任意常数）， ?a?即 X??0?0?ba00??b?。 a??

9、设矩阵A与矩阵B1,B2均可交换，求证：A与B1?B2,B1B2也可交换，且

A?B1?(A?B1)(A?B1)。

22证明：因为矩阵A与矩阵B1,B2可交换，即AB1?B1A，AB2?B2A， 所以 A(B1?B2)=AB1+AB2=B1A+B2A=(B1?B2)A ，

即矩阵A与B1?B2可交换。

又 AB1B2?B1AB2?B1B2A ， 即矩阵A与B1B2也可交换。

所以 由AB1?B1A有：(A?B1)(A?B1)=(A?B1)A－(A?B1)B1=A2?B1210、计算（其中n为正整数） ?1（1）???1??a?（3）?0?0?0b0。

1??1? ； （2）??0?1????0n?0???00? ； （4）?0?c???0?11101??1??1???1 ； （6）?1??1????11???333??； 1??10000100?11?1?10??0?； ?1?0???1?11?1?1???1?； ?1??1??nnn?1??0（5）?0??0?1100?1解：（1）???1??1（2）??0?n1??0?=???1???030??。 0??3??1?=???1??03n??。下面用数学归纳法证明。 ?1?当n=1时，当然成立。假定n=k时成立，即

?1??0?3??1????01???k3k??。 1??再证n=k+1时也成立。 ?1??0?3??1??k?1?1???0?0b03??1??k?1??0?n3??1????1???00bn3k??1???1???03??1????1???03(k?1)???。 1??a?（3）?0?0?0??an??0?=?0?c???000??0?，可用数学归纳法证明之。 n?c??0??0（4）?0??0?100001000??0? 1??0??nn当n=1时，值为原矩阵；

?0??0当n=2时，?0??0??0??0当n=3时，?0??0??0??0n?4当时，?0??0??1??0（5）?0??0??1???1（6）??1???1?11001110?11?1?131000100010000100010001000??0?1??0??0??0?1??0???0??0??0??0??0??0??0??0?n0000000000001000000000000??1?； ?0?0??1??0?； ?0?0??0??0?。 0??0??n0??0?1??0???0??0??0??0?1??1??1??0=1??0???1???0?1?11?1n3100631010??6?； 3??1???1???1?， ??1?1??由直接计算可知A2=4E。 由此进一步得知：

nnn?22n?(A)?(4E)2?2E,当n为偶数； ??n?1n?1?A2)2A?(4E)2A?2n?1A,当n为奇数。（?A11、设A?(aij)为n阶矩阵。试分别求A2,AAT与ATA的第k行第l列。

n解：A的第k行第l列为?akjajl，

2j?1n AA的第k行第l列为?akjalj，

Tj?1n AA的第k行第l列为?aikail。

i?1T12、设f(x)?a2x2?a1x?a0，对于n阶矩阵A，定义f(A)?a2A2?a1A?a0E 其中E为n阶单位矩阵。

?2（1）如果f(x)?x?5x?3，A????3?2?1??，求f(A)； 3??解：依定义得： ?2f(A)????3??1??2??5????33??2?1???3???13??0?0??0????1???00??。 ?0??2?（2）如果f(x)?x2?x?1，A??3?1?11?11??2?，求f(A). 0??解：依定义得：

?2?f(A)=?3?1?11?11??2??2?－?3?10???211?11??1??2?+?0?0???00100??7??0?=?8?1????21213??3?。 0??13、写出下列图G的邻接矩阵，并分别计算各邻接矩阵的平方。

解：（1）设邻接矩阵为A，则 ?0??1 A=?0??1??1?0??1 A=?0??0??01010101011101011??3??1??12

1?，A=?3??1??1??0??20??1??0??02

0?，A=?1??1??0??0??0121313231312131322??2?2?。 ?2??4?0??0?1?。 ?0??1?（2）设邻接矩阵为A，则

10100010100010102010102010102014、设A,B为同阶矩阵，且满足A?B?E.

2(B?E)。求证：A2?A的充分必要条件是

证明：先证明必要性：由于A? A?212(B?E)，故

14(B2?2B?E) …………（1）

如果A=A，即

2

2

12(B?E)?14(B2?2B?E)

由此得B=E

再证充分性：若B2=E，则由（1）式可知，

A2?14(E?2B?E)?12(B?E)?A。

所以，A2?A的充分必要条件是B2?E。

15、设A?(aij)为n阶矩阵，称A的主对角线上所有元的和为A的迹，记作trA，即

ntrA?a11?a22???ann??ai?1ii。

求证：当A?(aij),B?(bij)均为n阶矩阵时，有 （1）tr(A?B)?trA?trB; （2）tr(kA)?ktrA; （3）trAT?trA; （4）tr(AB)?tr(BA)。

证明：（1）因为A，B为n阶矩阵，所以A+B也为n阶矩阵，并设A+B=(cij)n?n

nnn根据矩阵加法的定义，可知：cij?aij?bij,所以cii?aii?bii因此，?cii=?aii+?bii，

i?1i?1i?1即 tr(A?B)?trA?trB。

（2）因为A为n阶矩阵，所以kA也为n阶矩阵，并设kA =(cij)n?n。 根据矩阵加法的定义，可知：cij?kaij, 所以 cii?kaii。

nnn因此，?cii=?kaii=k?aii，即 tr(kA)?ktrA。

i?1i?1i?1（3）令AT=(cij)n?n

根据矩阵转置的定义可知，cii?aii，

n又 trA?a11?a22???ann??ai?1nii，

nii所以 trAT?c11?c22???cnn??ci?1=?aii，

i?1即： trAT?trA。

（4）令AB=C=(cij)n?n，AB=D=(dij)n?n， 其中 cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj， dij?bi1a1j?bi2a2j???binanj。 显然，当i?j时，cij?dij，

nnii于是

?ci?1??di?1ii，即tr(AB)?tr(BA)。

16、计算下列行列式

cos?sin??sin?cos?1?1?1231； 0（1） ； （2）21（3）

342152809235215290925?1220323412200341230303219941234004 ； （4）21961；

5151112222311511115133323（5）

1111 ； （6）

234；

1444231（7）

11123 ； （8）

234。

解：（1）

cos?sin??sin?cos?=cos??sin?=1。

22

?(k?2)2?由此可得?=?0?0?0(k?2)020??0?。 2?k?因此当k??2,k?0时，即所有特征值均大于零时，B为正定矩阵。

12、设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B??E?ATA，试证：当??0时，矩阵B为正定矩阵。

证明：因为

BT=(?E?ATA)T=?E?ATA=B， 所以，B为对称矩阵。

对于任意的实n维列向量X，有

XTBX=XT(?E?ATA)X=?XTX?XTATAX=?XTX?(AX)TAX 当X?0时，有XTX>0 , (AX)TAX?0,

因此当??0时，对于任意的X?0，有XTBX?0，即B为正定矩阵。

13、设实对称矩阵A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是矩阵B的秩r(B)=n.

证明：必要性。设BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量X?0，有 XT(BTAB)X?0即(BX)TA(BX)?0 于是BX?0，因此BX?0只有零解，从而r(B)=n。

充分性。因(BAB)=BTATB=BTAB，即BTAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组BX?0只有零解。从而对任意实n维列向量X?0有BX?0。

T又A为正定矩阵，所以对于BX?0，有(BX)BX?0，于是当X?0时，有

TT X(BAB)X?0， 故BTAB为正定矩阵。

14、在R3中，将下述二次方程化为标准形式，并判断曲面类型。

（1）x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3?45x1?25x2?35x3?222（2）4x1?6x2?6x3?4x2x3?4x1?4x2?4x3?5?0。

TT22257?0；

解：（1）设

?1? A=??2?2??2?24??2??x1??25?????，X =?x24?，??5??3??x???2??5?3???2?57???。 ??则该二次方程可记为

XTAX?2?TX??0。

由det(?E?A)?0，可得A的特征值和对应的特征向量： ?1?2，?1?(?2,1,0)T， ?2?2，?2?(2,0,1)T， ?3??7，?3?(?1,?2,2)T。 将特征向量单位化，得 ?1?15T(?2,1,0)，?2?15T(2,0,1)，?3?13(?1,?2,2)。

T取正交矩阵

????? B =?????T25150250151??3?2???， 3?2??3??则 BAB?diag(2,2,?7)。

设X=BY，其中Y=(y1,y2,y3)。原二次方程化为 YBABY?2?BY?即

2y1?2y2?7y3?5y1?54118222TTTT57?0，

112y2?5y3?57?0 （1）

令z1?y1?，z2?y2?，z3?y2?514，

则（1）式可化为

2z1?2z2?7z3?2221258。

用平面z3?c截此曲面，截痕为椭圆；用平面z1?a截此曲面，截痕为双曲线；用平

面z2?b截此曲面，截痕为双曲线，由次可知，此曲面为单叶双曲面。

（2）类似题（1）的做法，可把原二次方程化为：

22 4z12?4z2?8z3?5

此曲面为双叶双曲面。

15、已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换 (x,y,z)T=P(?,?,?)T 化为椭圆柱面方程?2?4?2?4。求a，b的值和正交矩阵P。

?1?TT解：设X=(x,y,z)，Y=(?,?,?)， A=?b?1?ba11??0??1?，B=?0?01???0100??0?， 4??则原二次曲面方程可表示为XTAX?4，椭圆柱面方程为YTBY?4，此问题即寻求一正交变换X=PY，把原二次型化为已知的标准形。

因此，由已有的标准形，可知矩阵A的3个特征值分别为?1?0，?2?1，?3?4，由det(?E?A)?0，可得a?3，b?1。

由矩阵A的特征值，可求得对应的特征向量： ?1?0，?1?(1,0,?1)T， ?2?1，?2?(1,?1,1)，

T ?3?4，?3?(1,2,1)。

T将各个特征向量单位化得： ?1?故

???? P???????12012?1313131??6?2?? 。 6?1??6?12(1,0,?1)，?2?T13(1,?1,1)，?3?T16(1,2,1)。

T

第二章555 线 性 方 程 组

习 题 二

(A)

1、用克拉默的法则解下列线性方程组

?bx?ay?2ab?0???2cy?3bz?bc?0 ?cx?az?0（1）

?b?解： 设 A=?0?c??a?2c0b0??3b? ，由于abc?0，则 a???a?2c003b=-5abc?0。 adetA=0c故方程组有唯一解。又

?2ab?a?2c003b=5a2bc，, adetB1=

bc0b?2abbc0?a?2c003b=-5ab2c， a?2abbc0detB2=0cbdetB3=0c=-5abc2，

从而 x1=

detB1detA=-a ， x2=

detB2detA=b， x3=

detB3detA=c。

?ax1?ax2?bx3?1?(2) ?ax1?bx2?ax3?1

?bx?ax?ax?123?1?a?解： 设 A=?a?b?aabaababb??ba? 由于a?b且a?- ，

2a??detA=aba= －（a－b）2(2a+b) ?0。 a故方程组有唯一解。又

1aba111ababa= －（a－b）2， aba= －（a－b）2， a11= －（a－b）2， 112a?bdetB1=11adetB2=abadetB3=ab方程组的解为 x1?x2?x3?。

?x1?2x2?3x3?4x4?4?x2?x3?x4??3?（3）?

x?3x?x?1124???7x2?3x3?x4??3??1??0解： 设 A=?1??0?1?213?7?213?74?213?73?1033?1033?103?4??1? ，则 ?1?1???4111?4111detA=

010=16，

detB1=

?31?3=－128，

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