A111098765甲乙O412123109876511甲乙O41212310987611甲12B1乙O4523阴影部分乙的面积1=圆的面积的6120°阴影部分的面积1=圆的面积的3阴影部分乙的面积=斜纹三角形B的面积+斜纹弓形A的面积
1?11?综上所述：阴影部分甲的面积?圆的面积的????圆的面积的．所以甲、乙面积之比为1:1．
6?36?
【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，
钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？
1110987654B12123DAOC【解析】 在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影
部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系．
?BOD将原题图中的等边三角形旋转30°(注意，只转三角形，圆形不动)，得到右上图．因为?AOD、
都是等边三角形，所以四边形OBDA是菱形，推知?AOB与?ADB面积相等．又因为弦AD所对的弓形与弦BD所对的弓形面积相等，所以扇形AOB中阴影部分面积占一半．同理，在扇形AOC、扇形BOC中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10?2?5(平方米)．
【巩固】如图，已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形，圆O的半径为15厘米． ?AOB??COD??EOF?90?．求阴影部分的面积．
AGFJOBHCDIEBHCDIOEAGFJ
【解析】 直接解决．
总阴影面积?每块阴影面积?3?(大弓形?小弓形)?3． 关键在于大弓形中三角形的面积，
设J为弧GI的中点，则可知GOIJ是菱形，GOJ是正三角形，
4-3-3 圆与扇形 题库 page 31 of 42
115 所以，三角形GOD的面积???26．
221115 所以大弓形的面积： SGJI?π?152???26
322 ?235.5?97.5 ?138．
11 小弓形的面积：SFJE?π?152??152?176.625?112.5?64.125．
42 所以，总阴影面积??138?64.125??3?221.625(平方厘米)．
【例 62】 如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径
为10厘米，求阴影部分的面积．
BBO1O2O1O2
【解析】 阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各
边长均等于半径)，则?AO2O1??BO2O1?60?，即?AO2B?120?．
这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形的面积，三角形AO2B的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦AB，高是O1O2的一半． 所以，阴影部分面积?2?S扇形AO2B?S?AO2B
120110???2??3.14?102???17??
36022??11?209?85?124(平方厘米)．
33AA??
【例 63】 下图中，AB?3，阴影部分的面积是
ACAHCEFEGFB
r?HG?EG【解析】 如图可知EF?3，设大半圆半径为R，小圆半径为r，如右图R?EH，，根据勾股定
22理得R?2r，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知 S阴影?S小圆?S柳叶
?S小圆?（2S扇形EHF?S?EHF) ?S小圆?2S扇形EHF?2S?EHF
DBD?S小圆?S大半圆?2S?EHF ?2S?EHF
?EF?GH?3?3?2?4.5
【例 64】 如图，ABCD是平行四边形，AD?8cm，AB?10cm，?DAB?30?，高CH?4cm，弧BE、
4-3-3 圆与扇形 题库 page 32 of 42
DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，则阴影部分的面积为多少？(精确到0.01)
EDNCAMBFH
【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形，AD?8cm，AB?10cm，?DAB?30?，所以
30?25 S扇形EAB?S扇形FCD?102π??π?cm2?，
360?330?16 S扇形DAM?S扇形BCN?82π??π?cm2?．
360?3 因为平行四边形ABCD的高CH?4cm，所以S?ABCD?10?4?40cm2．
?? 由图中可看出，扇形EAB与FCD的面积之和，减去平行四边形ABCD的面积，等于曲边四边形DFBE的面积；平行四边形ABCD的面积减去扇形DAM与扇形BCN的面积，等于曲边四边形DMBN的面积．则
S阴影?S曲边四边形DFBE?S曲边四边形DMBN
??2S扇形EAB?S?ABCD???S?ABCD?2S扇形DAM? ?2??S扇形EAB?S扇形DAM?S?ABCD?
16?25??41??2??π?π?40??2???3.14?40??5.83?cm2?．
3?3??3?
【例 65】 如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也
没有滑动)．在圆周上设一个定点P，点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)
【解析】 如上图：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一
种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270o．另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了270??360??630?． 因为两条线段共长30厘米，所以270o的弧长或者630o的弧长再加上两个半径是30厘米．
270630 2πr??2r?30(厘米)，或者2πr??2r?30(厘米)，所以圆的半径是4.47厘米或2.31厘米．
360360
【例 66】 (第三届希望杯)将一块边长为12厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形
铁皮，求剪成的正方形铁皮的面积的最大值.
P
4-3-3 圆与扇形 题库 page 33 of 42
37A73A′B12A7D′D3A′BB′12CA73A′BB′12D′DC′C
图1 图2 图3
【解析】 如图1所示，使A?B?BC??C?D??D?A??12?3?9(厘米)，则正方形A?BC?D?的面积为9?9?81 (平
方厘米).如图2所示，使AA??BB??CC??DD??3(厘米)，则正方形A?B?C?D?的面积为
112?12?4??3?(12?3)?90(平方厘米).
2??察图3可知?C?D?D如图3所示，连结AC交曲线于点A?，使A?B??B?C.观
A?B??12?1?.510).(注：A?B?的长度在(10.5?0.2)厘米之间均可．)于是正方形A?B?CD?的(厘米
面积为10.5?10.5?110.25(平方厘米).
因为81?90?110.25，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25平方厘米.
C′DD′C板块三 曲线型旋转问题
【例 67】 正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那
么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)
BAC
【解析】 如图所示，A点在翻滚过程中经过的路线为两段120?的圆弧，所以路线的总长度为：
1202π?6??2?8π厘米；
360三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120?的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：
120π?62??2?15?24π?15平方厘米．
360
【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米．如下图所示，三角形
由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，
此时A，C1点分别到达A2，C2点．求C点经C1到C2走过的路径的长．
A2B60?ⅠC30?AC1ⅡB1ⅢC2BA?为大圆周长的180??30??5，弧C?C为小圆【解析】 由于BC为AC的一半，所以?CAB?30?，则弧CC112360?121???周长的，而CCC1C2即为C点经C1到C2的路径，所以C点经C1到C2走过的路径的长为145150652π?20??2π?10??π?5π?π(厘米)．
124334-3-3 圆与扇形 题库 page 34 of 42
【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是5cm．让这
个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点A到达点E的位置．求点A走过的路程的长．
A1A2ⅣDEⅠABⅡCⅢDⅣEAⅠBⅡCⅢ
【解析】 因为长方形旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．
这三段路程分别是：
1第1段是弧AA1，它的长度是2?π?4?(cm)；
41第2段是弧A1A2，它的长度是2?π?5?(cm)；
41第3段是弧A2E，它的长度是2?π?3?(cm)；
4111所以A点走过的路程长为：2?π?4??2?π?5??2?π?3??6π(cm)．
444
【例 68】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见
如图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取3.14)
30A301010B20C 3【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径30米的个圆，B，C分别是
41半径为20米和10米的个圆．
4311所以羊活动的范围是π?302??π?202??π?102?
444311???π??302??202??102??
444???2512．
【巩固】一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是4m，求狗所能到的地方
的总面积．(圆周率按3.14计算)
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圆与扇形
例题精讲
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
n圆的面积?πr2；扇形的面积?πr2?；
360n圆的周长?2πr；扇形的弧长?2πr?．
360
一、跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说111的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几246n分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．
360n比如：扇形的面积?所在圆的面积?；
360n扇形中的弧长部分?所在圆的周长?
360n扇形的周长?所在圆的周长??2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
360②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积?扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图： 弯角的面积?正方形-扇形
④”谷子”：如图： “谷子”的面积?弓形面积?2
二、常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用
【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
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【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．
【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．
【例 2】 如图，在18?8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积
的几分之几？
【解析】 我们数出阴影部分中完整的小正方形有8+15+15+16?54个，其中部分有6+6+8?20个，
部分有6+6+8?20(个)，而1个 和1个 正好组成一个完整的小正方形，
所以阴影部分共包含54+20?74(个)完整小正方形，而整个方格纸包含8?18?144(个)完整小正方
3774形．所以图中阴影面积占整个方格纸面积的，即．
72144
【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积
的几分之几？
【解析】 矩形纸板共28个小正方格，其中弧线都是
1圆周，非阴影部分有3个完整的小正方形，其余部分可44-3-3 圆与扇形 题库 page 2 of 42
拼成6个小正方格．因此阴影部分共28－6－3=19个小正方格．所以，阴影面积占纸板面积的
19． 28
【例 3】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，
则图中阴影部分的面积为 平方厘米．
【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的
等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，
1所以阴影部分的面积等于22??2平方厘米．
2
【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．
【解析】 阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为 4?4?2?8．
【例 4】 (人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和
半径，求阴影部分面积．(π取3.14)
【解析】 把中间正方形里面的4个小阴影向外平移，得到如右图所示的图形，可见，阴影部分的面积等于四
个正方形面积与四个90?的扇形的面积之和，所以，
S阴影?4?S??4?S1?4?S??S圆?4?12?π?12?4?π?7.14．
4圆
【例 5】 图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都
是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
【解析】 如下图所示：
4-3-3 圆与扇形 题库 page 3 of 42
（1?1?2）?4?0.5?4?2（平方厘可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为
米），所以阴影部分的总面积为2?4?8（平方厘米）．
【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是 ．
2m2m2m 或
【解析】 我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公
式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于
2（2?2）?16（m2）．
【例 6】 如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这
些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3)
【解析】 本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．
如右上图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地
1方，这样得到一个正方形，还剩下4个圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为
442?π?12?19(平方厘米)．
【总结】在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的图形，
从而利用面积公式进行求解．这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关键，我们需要多多练习，这样才能快速找到切割拼补的方法、
【例 7】 如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)
【解析】 将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为5?5?3.14?2?39.25(cm2)
【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分
的面积之比是多少？(圆周率取3.14)
4-3-3 圆与扇形 题库 page 4 of 42
【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设
大圆半径为r，则S2?2r2，S1?πr2?2r2，所以S1:S2??3.14?2?:2?57:100．
移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．
【例 8】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．
1055AA【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． ?5?10??5?2?75?2?37.5(平方分米)．
【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？
4222
【解析】 首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，
那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(2?2?2)?4?(2?2)?4?8
【例 9】 请计算图中阴影部分的面积．
103【解析】 法一：
为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的面积了．
4-3-3 圆与扇形 题库 page 5 of 42
【解析】 设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为
a，2a2大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即(2r)?a?a，得r?．
222a2aa222a所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：πr:π()?r:?:?2:1， 2424即大圆的面积是小圆面积的2倍，大圆的面积为30?2?60(平方厘米)．
2222
【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a，小正方形的面积是 ．
【解析】 设图中小正方形的边长为b，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为a，而从图中可
1以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以a2?b2?b2?2b2，故b2?a2，即小正方形的面
21积为a2．
2
【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆
22的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取π?)
71
【解析】 我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．
内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是π?12?2?2?2?π?2．
内圆的直径为中部正方形的边长，即为2，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部分面积是π?(22?22)?4?2?2?2π?4．
中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为22?22?8，外部正方形的对角线的平方即为外圆的直径的平方，即为8?2?16，所以外圈阴影部分的面积是π?16?4?8?4π?8．
22所以阴影部分的面积是7π?14??7?14?8(平方厘米)．
7
【例 52】 图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正
方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π?3.14)
4-3-3 圆与扇形 题库 page 26 of 42
?11111?【解析】 圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为：???????6?4
?23323??4?∴圆的面积为：π???12.56
?2?2
【例 53】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个
图中阴影部分的面积大？为什么？
【解析】 设正方形的边长为a，每一个圆的半径为r，则正方形的每一条边上都有
共有
a个圆，从而正方形内部2raaaa1?个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影?πr2???πa2． 2r2r2r2r4可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就是一定的．
由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．
【例 54】 如图，在3?3方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段
圆弧与正方形ABCD的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S1:S2??
AEFS1S2BCBB1DAEFS1B2DD1D2C
【解析】 如右图，仔细观察图形不难发现带形S1的面积等于曲边三角形BCD的面积减去曲边三角形B1CD1
的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．
1??1???π?所以，S1的面积??32?π?32????22?π?22???5??1??；
4??4?4???同理可求得带形S2的面积：
?π?带形S2的面积?曲边三角形B1CD1的面积?曲边三角形B2CD2的面积?3??1??；
?4?所以，S1:S2?5:3．
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【例 55】 如图中，正方形的边长是5cm，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取
3.14)
3??2π?5??5?5?2??2?142.75(cm2)． 【解析】 ?4??
AEB是以C为圆心，AC为半【例 56】 如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，?径的圆弧，求阴影部分面积．
DEAOBADEOB
【解析】 连接AC、BC．阴影部分面积等于半圆ADB的面积减去弓形AEB的面积，而弓形AEB的面积又等
于扇形CAB的面积减去?ACB的面积．
111?ACB的面积等于以AB为边的正方形的面积的，即302??225，那么AC2?225??450．
44290225225那么扇形CAB的面积为π?AC2??π，弓形AEB的面积为π?225，
360221?225?π?225??225． 所以阴影部分面积为?π?152??2?2?
?是以C为圆心，AC为半径的圆【例 57】 如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15，AEB弧． 求阴影部分面积．
DEAOBCCC
【解析】 阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形ABC
再减去扇形ACB的结果．
1半圆面积为?π?152，
211三角形ABC面积为??15?15??15?152，又因为三角形面积也等于?AC2，
2222所以AC?2?15，
4-3-3 圆与扇形 题库 page 28 of 42
901?π?AC2??π?2?152． 3604阴影部分面积S阴影?S半圆?S三角形?S扇形 那么扇形ACB的面积为
11??π?152?152??π?2?152 24? 225 (平方厘米)
【例 58】 如下图所示，曲线PRSQ和ROS是两个半圆．RS平行于PQ．如果大半圆的半径是1米，那么
阴影部分是多少平方米？(π取3.14)
RS
【解析】 如左下图所示，弓形RS的面积等于扇形ORS的面积与三角形ORS的面积之差，为
11π1?π?12??1?1??(平方米)， 4242POQRSRS
11OR2?OS2112?12π?RS?半圆ROS的面积为?π???π??(平方米)， ??π?2224244??π1π1所以阴影部分的面积为?????π?1??1.07(平方米)．
42422P1O1QP1O1Q
【例 59】 在右图所示的正方形ABCD中，对角线AC长2厘米．扇形ADC是以D为圆心，以AD为半径
的圆的一部分． 求阴影部分的面积．
ABA21B3CDC
D
111π1?AC?122?AD?π?AC?AD2． 【解析】 如右图所示，S1??AD2?AD2，S2?S3?π???28242?2?22因为AC2?2AD2?4，
所以阴影部分的面积为： π11111?AD2?AD2?π?AC2?AD2?π?AC2?AC2?π?2?1.14(平方厘米)． 428242另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形ABCD的面积，所以阴
π1影部分的面积为?AD2?π?AC2?AD2?1.14(平方厘米)．
48
【例 60】 某仿古钱币直径为4厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱
币在桌面上能覆盖的面积为多少？
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4cm
【解析】 将古钱币分成8个部分，外部的4个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，
中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：
?4??4??4?π??????2????2?4?π?6π?8?10.84(cm2)． ?2??2??2?222
【例 61】 (2006年小学生数学报竞赛)传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟
面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是 平方米．
1211109875412103987541211121211B'10312B98AA'3466765
【解析】 等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相
等．由A与A'，B与B'面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．10?2?5(平方米)．
【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？
111098765甲乙O412123
【解析】 根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：
阴影部分甲?120°的扇形?三角形?小弓形； 阴影部分乙?三角形?小弓形；
由于120°扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：
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GFEDGFEDACB610
【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙BCD的
面积就成了解题的关键．
1月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆：6?6??π?6?6?9；
4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：
1S阴影???10?6??6?9?39．
2(法2)观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF． 则?ABD与?BDF面积相等，那么阴影部分面积等于?BDF与小弓形的面积之和，也就等于?DEF与
11扇形BED的面积之和，为：(10?6)?6???π?62?39．
24
【例 31】 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知AB?BC?10，
那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)
10B6ABABACPDPD
【解析】 连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M点，那么?ABD与
?ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为?ABP与圆内的小弓形的面积和． ?ABP的面积为：10??10?2??2?25；
弓形面积： 3.14?5?5?4?5?5?2?7.125； 阴影部分面积为：25?7.125?32.125．
【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，
按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π?3.14)
EABCC46【解析】 连接小正方形AC,有图可见 S阴影?S△ACD?S扇形?S△ABC
D4C6
111∵?AC2??4?4 2222∴AC?32
同理CE2?72，∴AC?CE?48
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1∴S△ACD??48?24
2901S扇形?π?42?12.56，S△ABC??4?4?8
3602∴S阴影?24?12.56?8?28.56
【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部
分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？
【解析】 假设最小圆的半径为r，则三种半圆曲线的半径分别为4r，3r和r．
11122 阴影部分的面积为：π?4r??π?3r??πr2?πr2?5πr2，
2222空白部分的面积为：π?4r??5πr2?11πr2，
则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．
【例 34】 (2008年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径
为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π?3.14)
【解析】 ⑴每个圆环的面积为：π?4?π?3?7π?21.98(平方厘米)；
⑵五个圆环的面积和为：21.98?5?109.9(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.9?77.1?32.8(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.8?8?4.1(平方厘米)．
【例 35】 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，
再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π?3.14)
2239.25 【解析】
【例 36】 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧
所围成的阴影部分的面积．(π取3)
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ADADBa
【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式
求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．
如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，
S阴影?4??S半圆?S三角形?
2?1a??a?1 ?4?????????a??
2??2?2?2??1 ?a2
2CBaC
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴
影部分面积．(π取3) AADDBCBC
【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴
影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．
解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．
1则阴影部分的面积为??π?42?4?4?8；
2解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，
1所以阴影部分面积?2?（?π?42?4?4?2）?8．
4
【例 37】 (2008年四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，AC?4cm，BC?2cm，求阴影部分的面
积．
B
【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影
1?4?1?2?1部分的面积为：π????π?????4?2?2.5π?4?3.85(cm2)．
2?2?2?2?24-3-3 圆与扇形 题库 page 18 of 42
22AC
【例 38】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都
是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.
【解析】 根据容斥原理得100?3?S阴影?2?42?144，所以S阴影?100?3?144?2?42?72（平方厘米）
【例 39】 (2008年国际小学数学竞赛)如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而
F是BC的中点．以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S1和S2两块面积之差为mπ?n(cm2)(其中m、n为正整数)，请问m?n之值为何？
AES2GS1HDASS1ES2GHDB【解析】 (法1)S?FCDEBF F1图1?2?4?8cm2，S扇形BCD??π?42?4π(cm2)，
4CC
1S扇形BFH??π?22?π(cm2)，而
4S1?S2?S扇形BCD?S扇形BFH?S?FCDE?4π?π?8?3π?8(cm2)，
所以m?3，n?8，m?n?3?8?11．
(法2)如右上图，S?S1?SBFEA?S扇形BFH?2?4?2?2?π?4?8?π(cm2)，
S?S2?SABCD?S扇形BCD?4?4?4?4?π?4?16?4π(cm2)，
所以，S1?S2?(8?π)?(16?4π)?3π?8(cm2)，故m?n?3?8?11．
【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)
【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方
形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇
ππ形减去小扇形，再减去长方形．则为：?4?4??2?2?4?2?3?3.14?8?1.42．
44
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【例 40】 如图，矩形ABCD中，AB?6厘米，BC?4厘米，扇形ABE半径AE?6厘米，扇形CBF的半
径CB?4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)
AFDEBC
【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则
的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，
1所以不规则部分ABFD的面积为6?4??π?42?12(平方厘米)，
4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，
1则有阴影部分面积为?π?62?12?15(平方厘米)．
411方法二：利用容斥原理S阴影?S扇形EAB?S扇形BCF?S长方形ABCD?π?62?π?42?4?6?15(平方厘米)
44
【巩固】求图中阴影部分的面积．
121211211【解析】 阴影部分面积?半圆面积?扇形面积?三角形面积?π?()2?π?122??122?41.04．
2282
【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π?3.14)
AD
FEBC
【解析】 观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头
求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为?ADB?45?，
4545所以扇形ADE的面积为：?π?AD2??3.14?52?9.8125(平方厘米)，
3603601那么左下边空白的面积为：?5?5?9.8125?2.6875(平方厘米)，
221?5?又因为半圆面积为：?π????9.8125(平方厘米)，
2?2?所以阴影部分面积为：9.8125?2.6875?7.125(平方厘米)．
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【例 41】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)
345?45?33AB33A1.51.5B31.5【解析】 图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．
927所以SA?SB??1.52π?1.5?3??4??32π?3?3?2??8??4?9?8?．
416
【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)
33
【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面
积．
2?11?199?3?2所分成的弓形的面积为：?π????3????π?；
4?8?2??2?216?1199另一部分的面积为：π?32?32??π?；
848499992727所以阴影部分面积为：π??π???π??1.92375?1.92．
16884168
【例 42】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O1、O2、O3为圆心，求阴影部分
的面积．(π?3)
AO3O133
【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面
积减去一个90?扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：
12?S正方形?S扇形??S?S?4?20?20?π?20????????20?20?100π??4???75(平方厘米)，所以?正方形圆?4阴影部分的面积为75?2?150(平方厘米)．
【例 43】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无
法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)
【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下
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O2B图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．
阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：
901每个角阴影部分面积为1?1?π?12??；
36041那么圆无法运动到的部分面积为 4??1
4
方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为2?2?3?12?1
【例 44】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π?3.14)
ABDCO
【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影
部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以OA2?62.8?3.14?20． 因此：S△AOB?OA?OB?2?OA2?2?10(平方厘米)．
由于?AOB是等腰直角三角形，所以AB2?20?2?40．
4545因此：扇形ABC的面积?π?AB2??π?40??15.7(平方厘米)．
360360所以，阴影部分的面积等于：15.7?10?5.7(平方厘米)．
【例 45】 如图，等腰直角三角形ABC的腰为10；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；两个阴影部
分的面积相等．求扇形所在的圆面积．
AECFB
【解析】 题目已经明确告诉我们ABC是等腰直角三角形，AEF是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通
过空白部分联系起来．
等腰直角三角形的角A为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．
1而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即S扇形??10?10?50，
2则圆的面积为50?8?400
【例 46】 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB?20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，
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求BC长．(π?3.14)
A甲乙BC
【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是
如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．
因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．
1半圆面积为：?π?102?157，则直角三角形的面积为157?7?150，可得BC?2?150?20?15．
2
【巩固】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，AB?8cm，求BC的长度．
AIIIBC【解析】 由于阴影I的面积比阴影II的面积小25cm2，根据差不变原理，直角三角形ABC面积减去半圆面积
1?8?为25cm，则直角三角形ABC面积为π????25?8π?25(cm2)，
2?2?BC的长度为?8π?25??2?8?2π?6.25?12.53(cm)．
2
2
【巩固】 如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘
米．求BC的长度？(π取3.14)
1【解析】 图中半圆的直径为AB，所以其面积为?202?π?200?3.14?628．
2 有空白部分③与①的面积和为628，又②-①?28，所以②、③部分的面积和628?28?656．
11有直角三角形ABC的面积为?AB?BC??40?BC?656．所以BC?32.8厘米．
22
【例 47】 (2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．
420
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【解析】 如下图，设半圆的圆心为O，连接OC．
从图中可以看出，OC?20，OB?20?4?16，根据勾股定理可得BC?12． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
1为：π?202??(16?2)?12?200π?384?244．
2DCAOB
【例 48】 如图，求阴影部分的面积．(π取3)
34
【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它
们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．
111阴影部分面积?小圆面积?中圆面积?三角形面积?大圆面积
2221111??π?32??π?42??3?4??π?52
2222?6
【例 49】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多
少？
5610O8S阴影?S直角三角形?S半圆， 【解析】
设半圆半径为r，直角三角形面积用r表示为：
6?r10?r??8r 221又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为?6?8?24，
2所以8r?24，r?3
1所以S阴影?24??9π=24?4.5π
2
【例 50】 (华校2005～2006年度第一学期期中测试第6题)大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构
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成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)
O
【解析】 环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴
影部分的面积，也就是R2?r2?50平方厘米，那么环形的面积为： πR2?πr2?π(R2?r2)?π?50=157(平方厘米)．
【巩固】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．
R2r2【解析】 设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有??25，即R2?r2?50．
22则圆环面积为：πR2?πr2?π(R2?r2)?50π?157(cm2)．
【例 51】 (2008年101中学考题)已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和
是 ．(π取3.14)
【解析】 设图中大圆的半径为r，正方形的边长为a，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为
222a，2a2大圆的直径2r等于正方形的对角线长，即(2r)?a?a，得r?．
222所以，大圆的面积与正方形的面积之比为：πr:a?π:2，所以大圆面积为：20?2?π?10π；小圆
a的面积与正方形的面积之比为：π()2:a2?π:4，所以小圆的面积为：20?4?π?5π；两个圆的面
2积之和为：10π?5π?15π?15?3.14?47.1(平方厘米)．
2
【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．(π取3.14)
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33
【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径4m，圆心角300°的扇形与两个半径1m，圆心角120°的扇
形之和．所以答案是43.96m2．
【例 69】 如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60?，此时B点移动
到B'点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)．
B'60?
【解析】 面积?圆心角为60?的扇形面积?半圆?空白部分面积(也是半圆)?圆心角为60?的扇形面积
603??π?32?π?4.5(cm2)． 3602AB
【例 70】 如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，?ABC?60?，此时BC长5厘米．以点B为中心，将?ABC顺时针旋转120?，点A、C分别到达点E、D的位置．求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积．(π取3)
ECABD【解析】 注意分割、平移、补齐．
E(1)
C(2)A
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为?EBD?60?，那么?ABE?120?，
1则阴影部分为一圆环的．
31所以阴影部分面积为?π??AB2?BC2??75(平方厘米)．
3
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BD【巩固】如右图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋
转90?，问：三角形扫过的面积是多少？(π取3)
AO
【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之
一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边OA．
1因此可以求得，三角形扫过的面积为：24??π?10?10?24?25π?99(平方厘米)．
4
【巩固】(2008年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC中，?B为直角，且BC?2厘米，AC?4 厘
米，则在将?ABC绕C点顺时针旋转120?的过程中，AB边扫过图形的面积为 ．(π?3.14)
AAA'B' ?ABC120??A'B'C【解析】 如右上图所示，假设旋转到达的位置．阴影部分为AB边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形ACA'的面积与?ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BCB'的面积与?A'B'C的面积，由于?ABC的面积与?A'B'C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACA'与扇形BCB'的面积之
120120差，为?π?42??π?22?4π?12.56(平方厘米)．
360360
【例 71】 如图，?ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米．现在以C点为圆心，把三角形ABC顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是 平方米．(π?3.14)
A(B')ABCBCA'DBCD'A'B C【解析】 如图，顺时针旋转后，A点沿弧AA'转到A'点，B点沿弧BB'转到B'点，D点沿弧DD'转到D'点．因
为CD是C点到AB的最短线段，所以AB扫过的面积就是图中的弧A'AB与BDD'A'之间的阴影图形．S阴影?S半圆?S空白
11S△ABC?S△BDC?S△AD'C??1?1?(平方米)，
221S△ABC?S正方形ADCD'?CD2?(平方米)，
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【例 72】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C点按
顺时针方向旋转90?，分别求出四边扫过图形的面积．
ABππ1π?CD2???(平方米)， 4428π我们推知S阴影??BC2?S扇形DCD'?(S△BDC?S△ACD'）
2ππ1 ???
2823π1 ??
82 ?0.6775(平方米)． 所以，S扇形DCD'?DC
【解析】 容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的
A'AB1，如图： 4DCB'
因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为
9π． 42、研究AB边的情况．
在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
A'ABDCB' 下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形ACA'面积＋三角形A'B'C面积－三角形ABC面积一扇形BCB'面积＝扇形ACA'面积一扇形
52π32πBCB'面积??4π ?443、研究AD边扫过的图形．
由于在整条线段上距离C点最远的点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如图阴影部分所示：
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A'ABDCB'
52π42π9用与前面同样的方法可以求出面积为：??π
444旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．
可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．
【例 73】 (2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑
动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【解析】 对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点A，观察半径OA，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到
与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径OA也运动到了与初始时相对的位置．这时OA沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到OA与初始位置重合，这时OA自身转了1圈，因此小铁环自身也转了1圈．
AOOA⑵
【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以
考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自己的圆周长，那么小铁环转动了1圈．
【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁
环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【解析】 如图，同样考虑小圆的一条半径OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径
OA滚动了540?，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了3圈．
⑴OAAO⑵
也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈．
⑴
【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(n?1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又
回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
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【解析】 为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为2π?(n?1)．
2π?(n?1)所以小圆绕自己的圆心转动了：?n?1(圈)．
2π
图（1）图（2）
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示． 因为圆心滚动的距离为2π?(n?1)．
2π?(n?1)所以小圆绕自己的圆心转动了：?n?1(圈)．
2π
【例 74】 如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位
置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？
【解析】 当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬
币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了180??60??60??60?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了360??60??60??90??150?．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300o．
长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120??8?300??4?2160?，所以这枚硬币转动了2160o，即自身转动了6圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2π即滚动了一周．
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【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形(圆心的连线)．
用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【解析】 对于同样是12个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”
上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度?2π?自身转动圈数．结论：一样多；都是6圈．
【例 75】 一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回
到原来的位置，那么与原A点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长为_______．
DEFACDCBEFAB1【解析】 先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆，?(2?2π)?3?6π，
26π?2π?3，即为3周，所以答案为A点，3周，6π．
【例 76】 先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形
(如左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？(π?3.14)
A2B22C
【解析】 在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才
能实施具体的计算．
22222AC222B2图⑴22图⑵
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2D2AC2B22D'222222ACB22图⑷222图⑶
在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：
第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60°的扇形．在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；
第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图⑶中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图⑶中的弧DD'，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
60?6060???222?3?π?4??π?2?滚动时经过的面积是：3??π?22?????8π?25.12(cm)． 360?360360???
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