深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案

高等数学A2补充题 班级 学号 姓名

§7—1

1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A(1?第IV卦限 B(2,?3 ,2, 3),第V卦限 C(2?第VIII卦限 D(?2,?3,1)第III卦限． ,3?, 4)2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 D?AM?MC BM?MD

?bM?aCAB?AD?AM?MD?MC?BM?BC AD与BC平行且相等，结论得证．

???????3．已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角???????以及平行于向量M1M2的单位向量． 解： M1M2??i?2j?k

M1M2?(4?3)2?(2?0)2?(1?2)2?2

方向余弦：cos???112，cos???，cos??． 222方向角：??2?3??，??，??． 343平行于向量M1M2的单位向量是?121i?j?k． 2224．设m=3i+5j+8k,n=2i?4j-7k,p=5i+j?4k,求a=4m+3n?p在x轴上的投影及在y轴上的分向量． 解：因为a?4m?3n?p

?4(3i?5j?8k)?3(2i?4j?7k)?(5i?j?4k)?13i?7j?15k

所以在x轴上的投影为ax?13． 在y轴上的分向量为7j．

1

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§7—2

??????????????1．已知M1(1,?1,2)，M2(3,3,1)和M3(3,1,3)，求同时与M1M2，M2M3垂直的单位向量．

解：M1M2?2i?4j?k，M2M3??2j?2k，

??设所求向量为b?(a,b,c)，因为b?M1M2，所以 2a?4b?c?0

?因为b?M2M3，所以 ?2b?2c?0， ?222因为|b|?1，所以a?b?c?1

求得a??317，b??2173，c??217,?

??(?故所求单位向量为eb?17,?2172?方法二：所求向量b??M1M2?M2M2??24?1??(6,?4,?4)

0?2217?i)

?j?k??(6,?4,?4)??b322故eb????(?,?,?)

|b|36?16?161717172．设a=?3,5,-2 ?，b=?2,1,4?，问?与?有怎样的关系能使?a+?b与z轴垂直．

解：?i??b??(3i?5j?2k)??(2i?j?4k)

?(3??2?)i?(5???)j?(?2??4?)k

因为与z轴垂直，所以?2??4??0???2?．

3．设m=2a+b，n=ka+b，其中a=1，b=2，且a?b． (1) k为何值时，m?n；

(2) k为何值时，m与n为邻边的平行四边形面积为6？

??解：(方法一) 设a?{ax,ay,az}，b?{bx,by,bz}，

由题意已知ax?ay?az?1，bx?by?bz?4，axbx?ayby?azbz?0

222222??m?{2ax?bx,2ay?by,2az?bz}，n?{kax?bx,kay?by,kaz?bz}

??(1) 已知m?n，

2

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所以(2ax?bx)(kax?bx)?(2ay?by)(kay?by)?(2az?bz)(kaz?bz)?0

求得 k??2．

??(2) 根据题意，6?|m?n|，得k??1，或k?5．

?2?????????2(方法二) (1) ? m?n，? m?n?0?(2a?b)?(ka?b)?0?2k|a|?|b|?0

2k?4?0?k??2.

??????(2) ? S?6，? |m?n|?6?|(2a?b)?(ka?b)|?6?

?

????????|2(a?b)?k(a?b)|?6?|2?k|?|a?b|?6?|2?k|?|a|?|b|?6?|2?k|?3?k??1或k?5.

§7—3

1．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为(x,y,z)，根据题意，有

(x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2

等式两边平方，然后化简得 4x?4y?10z?63?0． 2．求以点O(1,3,?2)为球心，且通过坐标原点的球面方程．

解：设球面上点的坐标为(x,y,z)，根据已知条件，得

(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?(0?1)2?(0?3)2?(0?2)2

整理得 x2?y2?z2?2x?6y?4z?0． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 4x2?y2?z2?4； 解：椭球抛物面 (2) x2?y2?4z2?0； 解：圆锥面

zx2y2(3) ??．

349解：旋转抛物面

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§7—4

1．画出下列曲线在第一卦限内的图形：

?x?1(1) ?；

?y?2解：

??z?4?x2?y2(2) ?；

x?y?0??解：

?x2?y2?a2(3) ?2．22?x?z?a

解：

?x2y2?1??2．方程组?4在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？ 9?y?3?x2y2?1与直线y?3(其实是过点(0,3)的一条切线)解：在平面解析几何中，表示椭圆?49x2y2??1与其切平面y?3的交线(直线). 的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面

49

3．求由上半球面z?a2?x2?y2，柱面x2?y2?ax?0及平面z?0所围成的立体，在xOy面和xOz面上的投影．

4

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解：想象该立体的形状，知向xoy面上的投影柱面的方程为x2?y2?ax，即为圆柱

面(x?a2a)?y2?()2，故该立体在xoy面上的投影为圆面： 22a2a2?2?(x?)?y?() ?22．

??z?0222??x?z?a消去y：z?a?x?y，在xoz面上的投影是?

??y?02222?x?ax?0?22柱面x?y?ax?0在xoz面上的投影是?

??y?0?x2?z2?a2, z?0,x?0故在xoz面上的投影是?.

?y?0

§7—5

1．求通过点(3,0,?1)且与平面3x?7y?5z?12?0平行的平面方程． 解：设所求平面方程为3x?7y?5z?D?0，因为过点(3,0,?1)，所以

3*3?7*0?5*(?1)?D?0，得D??4，

故所求平面方程为3x?7y?5z?4?0

2．求过点M0(2,9,?6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程． 解：由条件 OM0?{2,9,?6}与平面垂直，

所以n?{2,9,?6}，所求平面方程为2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?0， 即2x?9y?6z?121?0．

?3．求平面2x?2y?z?5?0与各坐标面的夹角余弦． 解：与xoy平面的夹角余弦为cos?1?|2*0?(?2)*0?1*1|9|2*0?(?2)*1?1*0|95

?1 32 3 与xoz平面的夹角余弦为cos?2??

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与yoz平面的夹角余弦为cos?3?

§7—6

1．求过点(4,?1,3)且平行于直线解：设所求直线为l，

直线

|2*1?(?2)*0?1*0|9?2 3x?3z?1?y?的直线方程． 25x?3z?1?y?的方向向量为(2,1,5)，则直线l的方向向量为(2t,t,5t)， 25x?4z?3?y?1?． 25故所求直线方程为

2．求过两点M1(3,?2,1)和M2(?1,0,2)的直线方程．

解：所有直线L过点M1，M2两点，则M1M2//L，故可取s?M1M2，即

??s?M1M2?{?1?3,0?2,2?1}?{?4,2,1}

所以所求直线方程为：

y?2z?1x?3y?2z?1x?3????，即．

?1?30?22?1?4213．求点(?1,2,0)在平面x?2y?z?1?0上的投影．

?x??1?t?解：过点(?1,2,0)且垂直于平面的直线方程为?y?2?2t，代入平面方程中，

??z?0?t(?1?t)?2(2?2t)?(?t)?1?0，得t??252x??y?，代入直线的参数方程，得，，

333z?

2522，即投影点为(?,,)． 3333

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第八章 多元函数微分法及其应用

§8-1

x2?y21.求函数f(x,y,z)?arcsin的定义域.

z解：要使函数有意义，须z?0，且

x2?y2?1. z即, x2?y2?z,z?0 或 z??x2－y2,z?0. 2．求极限：lim1?cos(x?y). 2x?0(x?y)y?02sin2x?y1?cos(x?y)12?1. ?lim解：(方法一) lim22x?0x?0(x?y)42x?y??y?0y?0???2?12tx?y?t1?cost12 (方法二) 原式?lim2?lim2?. t?0t?0t2t§8-2

1．设u?xy?z,求一阶偏导数. 解：

222?u?u?u?(y?z2)xy?z?1;?xy?zlnx;?2zxy?zlnx. ?x?y?z2?z?z?2z2．设z?ln(x?siny)，求偏导数,及.

?x?y?x?y2??z2x?zcosy?2z??2x2xcosy解：?2;?2;??2??. ?22?xx?siny?yx?siny?x?y?y?x?siny?(x?siny)§8-3

设u?yxz，求du. 解：? ?u?u?u?zyxzlny;?xzyxz?1;?xyxzlny. ?x?y?z7

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?du??u?u?udx?dy?dz?zyxzlnydx?xzyxz?1dy?xyxzlnydz. ?x?y?z§8-4

x?z?z?2z1． 设z?f(x,)，求,,.

y?x?y?x?y解：令u?x,v?.

则

?zdu?v1?f1'??f2'??f1'?f2'; ?xdx?xy?z?vx?f2'???2f2'; ?y?yyxy?2z???z???'1'??f1'1'1?f2'x''1'x''?????f1?f2???2f2???2f12?2f2?3f22.?x?y?y??x??y?y??yyy?yyyy2. 设z?ex?y，其中y?cosx，求解：令u?x2,v?y2.则

dzx2?y2?u?e??e dx?xx2?22dz. dx?vdy???2xe?ydxy2x?2-2yey2?x2sinx?ey2x2?cos2x(2x-sin2x).

§8-5

?z?2zxz1．设?ln，求,2.

?x?xzy解：设F(x,y,z)??ln.则Fx?,Fy?,Fz??由隐函数存在定理，得

F?zz??x?;?xFzx?zxzzy1z1yx?z. 2z ?z??z?(x?z)?z1????2z???z???z??x?z2?x????????.??223?x?x??x??x?x?z?(x?z)(x?z)

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2．设F(u,v)可微，a?F?F?b?0，证明由F(x2?az,y2?bz)?0所确定的?u?v函数z?z(x,y)满足方程ay?z?z?bx?2xy. ?x?y(方法一) 证明：设u?x2?az,v?y2?bz.

则Fx?2xFu;Fy?2yFv;Fz??aFu?bFv. 由于a?F?F?b?0，于是，由隐函数存在定理，得 ?u?vFyFx2xFu2yFv?z?z ???;???.

?xFzaFu?bFv?yFzaFu?bFv 从而，ay证毕.

?z?z2xy?aFu?2xy?bFv?bx??2xy. ?x?yaFu?bFv（方法二） 证明：方程F(x2?az,y2?bz)?0两边分别对x,y求导：（注意z?z(x,y)）

对x求导：F1(2x?a对y求导：F1(?a)从而满足方程ay2xF1?z?z?z)?F2(?b)?0? ??x?x?xaF1?bF22yF2?z?z?z ??F2(2y?b)?0??y?y?yaF1?bF2?z?z?bx?2xy. ?x?y§8-6

?x2?y2z?1．求曲线?4在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x轴的??y?4?正向所成的角度是多少？

x2?y2?z,G(x,y,z)?y?4. 解：(方法一) 设F(x,y,z)?4于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为

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yxxy?Fx Fy??Fz Fx??Fy Fz- -1?1 -??(1,0,1).???2t??,,,,222??Gy GzGz Gx0Gx Gy???1 00 00 1?00??000?? ∴切线方程为：

x?2y?4z?5??. 101?x?z?3?0即：?.

y?4??另外，x轴上的单位向量为i?(1,0,0).由两向量夹角余弦公式得：

??i?t12cos??????.

2i?t2∴切线与x轴的正向所成的角度是??arccos(方法二) 设切向量t?{1,所以切线方程为 ：

?2??. 24??y?zx,}(2,4,5)?t?{1,0,}(2,4,5)?{1,0,1} ?x?x2?x?z?3?0x?2y?4z?5??. 即：?. 101?y?4?zx?tan??tan??代?x2另外设该切线与x轴正向所成角为?，则入点(2,4,5)?tan??1，所以???4.

2．证明曲面xyz?a3的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.

证明：设F(x,y,z)?xyz?a3. 则Fx?yz;Fy?xz;Fz?xy.

于是，曲面xyz?a3在它上面任意一点(x0,y0,z0)处的切平面方程

为：y0z0(x?x0)?x0z0(y?y0)?x0y0(z?z0)?0. 即 xy0z0?yxz0?0zxy0?30xyz0. 0 易知，该切平面在x,y,z轴上的截距分别为：3x0,3y0,3z0.

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则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 V???3x0?3y0?3z0? 证毕.

113299x0y0z0?a3. 22§8-7

1. 求f(x,y,z)?y2?2yz?x2在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有fx??2x;fy?2y?2z;fz?2y.

?gradf(1,2,1)?(?2x,2y?2z,2y)(1,2,1)?(?2,6,4).

而，f(x,y,z)?y2?2yz?x2在点(1,2,1)处的方向导数在沿f(x,y,z)在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模. ∴最大值为gradf(1,2,1)?4?36?16?214.

2.求u?ln(x2?y2?z2)在点(1,2,?1)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.

解：向量(9,4,14)?(5,1,2)?(4,3,12)的方向即是l的方向.

于是，与l同向的单位向量el?(,? ??u2x?2?x(1,2,?1)x?y2?z2?u2y?2?y(1,2,?1)x?y2?z2?u2z?2?z(1,2,?1)x?y2?z21?;32?;31??.3?4312,). 131313(1,2,?1)(1,2,?1)

(1,2,?1)?u14231122??????????l(1,2,?1)31331331339§8-8

1．将正数a分成三个正数x,y,z之和，使得u?xyz2最大. 解：即是求u?xyz2在条件x?y＋z＝a下的最大值.

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构造拉格朗日函数：L(x,y,z,?)?xyz2??(x?y?z?a).

?Lx?yz2???0?2aaa?Ly?xz???0求解方程组?得：x?,y?,z?.

442?Lz?2xyz???0?x?y?z?a?这是u?xyz2在条件x?y＋z＝a下的唯一可能极值点，而u?xyz2的最大值一定存在.故，x?,y?,z?就是满足条件的a的分解，

a4此时，u?.

64a4a4a22．求函数u?lnx?lny?3lnz在x2?y2?z2?5r2(x?0,y?0,z?0)上的最大值.

解：构造拉格朗日函数

L(x,y,z,?)?lnx?lny?3lnz??(x2?y2?z2?5r2).

求解下列方程组

1?L??xx?2?x?0??L?1?2?y?0yy ? ??3?Lz??2?z?0z?2222??x?y?z?5r 得：x?r,y?r,z?3r.这是唯一可能的极值点，而最大值一定

u?lnx?lny?3lnz在x2?y2?z2?5r2(x?0,y?0,z?0)上的最存在.故，

大值在x?r,y?r,z?3r时取得，最大值为ln33r.

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第九章 重积分

§9－1

1．估计积分的I???(x2?y2)dxdy值，其中D:x2?y2?1.

D解：在区域D上，有0?x2?y2?1.

区域D的面积S???12??. 由估值定理得：0?0???I?1????. 2．比较积分

2(x?y)dxdy与??D3(x?y)dxdy的大小，其中D由??Dx?0,y?0,x?1?y所围.

解：区域D可以表示为：0?x?1,x?1?y?0.

则在区域D上有：x?y?1.从而，(x?y)3?(x?y)2在D上成立.

? ??(x?y)3dxdy???(x?y)2dxdy.

DD3．??dxdy?4?,D:x2?y2?R2,x?0,y?0,则R?________.

D解：区域D是半径为R，圆心在原点的四分之一圆域.

由已知，D的面积为：??dxdy?4?.

D? R=4?4???4.

§9－2 1．?0dy?y11sinxdx?_________. x解：积分区域D??(x,y)0?y?1,y?x?1?.

把D视作X-型区域，则D??(x,y)0?x?1,0?y?x?.

1xsinx1sinxsinx1dx??dx?dy???xdx???cosx?0?1?cos1. 于是，?0dy?y000xxx112．I???xdxdy,D??(x,y)x2?y2?1,x?0,y?0?,则I?_____.

D

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(A)?dx?xdy; (B)?dx?0001111?y20xdy; (C)?dx?011?x20xdy; (D)?1?x20dx?1?y20xdy

解：将D视为X-型区域：D?(x,y)0?x?1,0?y?1?x2.

? I??dx?011?x20??xdy. 故，选(C).

3．?d??020?cos?f(rcos?,rsin?)rdr?______.

(A) ?dy?0101y?y201?y2f(x,y)dx; (B) ?dx?0101x?x201f(x,y)dy;

(C) ?dy?0f(x,y)dx; (D) ?dx?f(x,y)dy 0解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0???,0?r?cos?.

2?则在直角坐标系中，积分区域D：0?x?1,0?y?x?x2.

于是，原式＝?dx?0D1x?x20f(x,y)dy.故，选(B).

4．求??y1?x2?y2dxdy，D由y?x,x??1,y?1所围. 解：积分区域D可视作X-型区域：?1?x?1,x?y?1.

311?22222222????y1?x?ydxdy??dx?y1?x?ydy?????1?x?y??dx?1x2?1?3?x D111 ??1131(x?1)dx?.??1325．计算I???x2?y2dxdy,D??(x,y)0?y?x,x2?y2?2x?.

D解：在极坐标系中，积分区域D可以表示为：0???,0???2cos?.

4?那么，I??04d??0§9－3

?2cos??8?81023?d???4cos?d???4(1?sin2?)dsin??. 0033921．计算???xyzdV，其中?为x2?y2?z2?1及三个坐标面所围成的在第

?一卦限内的闭区域.

解：令x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?.

则?可以表示为：0???,0???,0?r?1.

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于是，有

?20?202xyzdV?d?d?rsin?cos??rsin?sin??rcos??rsin?dr???????011111 =?sin?cos?d???sin?cos?d???r5dr????.024648202031??

2．???zdxdydz，?由z?(x2?y2)与z?2所围.

?12解：将?投影在z轴上得投影区间[0,2].取?z?[0,2]，过(0,0,z)作平行 于xoy面的平面，该平面与?的交面记为Dz,则Dz??(x,y,z)x2?y2?2z?. 于是，???zdxdydz??0(??zdxdy)dz??0z???2zdz??Dz2216?. 33．???xdxdydz，?由z?x2?y2与z?1?x2?y2所围的第一卦限部分.

?解：令x?rcos?,y?rsin?.将?投影在xoy面上得投影区域：

??2??(r,?)0???,0?r? Dxy????.

??22??过?(r,?)?Dxy作平行于z轴的直线，该直线从z?x2?y2(即z＝r)进入?内，由z?1?x2?y2(即z?1?r2)从?穿出. 则?可以表示为： 于是，有

?0????2,0?r?2,r?z?1?r2. 2???xdxdydz???2022d??r2220dr?21?r2?rrcos??rdz??cos?d???20220r2(1?r2?r)dr =?01令r?sin?421?121?rdr?sin?cos?d????.??016163216?

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第十章 曲线积分与曲面积分

§10－1

1．设L为下半圆周y??1?x2，则?L(x2?y2)ds?________. 解：(方法一)

L?x?cos?的参数方程为：?,????2?.则

y?sin??ds?x'2(?)?y'2(?)d??d?.

于是，?L(x2?y2)ds???d???. (方法二) ?(x2?y2)dsLL:x2?y2?1(y?0)2???1ds?L1?2??1??. 2?x?2cost??2．?xyzds，其中?为?y?2sint,0?t?.

4?z?t??解：由已知，得ds?x'2(t)?y'2(t)?z'2(t)dt?5dt.

于是，

??0?0?xyzds???402cost?2sint?t?5dt?25?4sin2t?tdt??5?4tdcos2t????544 ??5?tcos2t0??cos2tdt??.02??

§10－2

1．?L(2a?y)dx?xdy，其中L为摆线x?a(t?sint),y?a(1?cost)上对应于t从0到2?的一段弧. 解：由已知，L:?那么，

?x?a(t?sint),t从0变到2?.

?y?a(1?cost)?(2a?y)dx?xdy???(2a?a?acost)?a(1?cost)?a(t?sint)?asint?dt

? ?a?tsintdt??2?a.L022202?

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§10－3

y2x1．设L为x?y?1的反时针方向，则?(2xy?e)dy?(y?y?e)dx?_. ?L(A)0; (B)2; (C)4; (D)1.

解：记L所围的区域为D，易知D是边长为2的正方形区域.

由已知，P?y2?y?ex,Q?2xy?ey. 则，

?Q?P??2y?2y?1?1. ?x?yy2x由格林公式，得?(2xy?e)dy?(y?y?e)dx???1dxdy?2. ?LD故，选(B).

x2xdy?ydx2．?L22，L经上半椭圆?y2?1(y?0)从A(?2,0)?B(2,0).

4x?y(方法一) 解：选适当的r?0,构造上半圆周x2?y2?r2(y?0)，设它与x??CA构轴的两个交点为C(?r,0),D(r,0),其方向为从D到C.则L?BD?DC成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为?.

?yx?Q?Py2?x2y2?x2由已知，P?22,Q?22. 则，??222?222?0.

x?yx?y?x?y(x?y)(x?y)由格林公式，得???CA?L?BD?DC则，?L??Q?P?xdy?ydx????dxdy?0. ?22??x?y?x?y????xdy?ydxxdy?ydxxdy?ydxxdy?ydx? ＝－＋＋. ??BD2222???DCCAx2?y2?x2?y2x?yx?y???x?x?x?x?:?x?rcos?,?从0??；,x从2?r；DCCA:,x从-r?-2. ???y?0?y?rsin??y?0而，BD:?r?xdy?ydxxdy?ydxxdy?ydx?0dx?0; ?0; ?d???. 于是，?BD22?22222????CADC0x?yx?yx?y故，原式＝－?.

22(方法二) 解：选择路径上半圆l:x?y?4. ? Py?Qx，?该曲线积分与路径无关，

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?L2204cos??4sin?0xdy?ydxxdy?ydx??d??1d????. ???2222??4x?yx?yl1?y2(1?x2)ydy，L沿x2?y2?4y?1的反时针方向从3．?L3dx?2xxA(1,0)?B(2,1).

解：构造辅助折线BCA，其中点C(1,1). 则L?BCA为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.

1?y2(1?x2)y?Q?P2y2y由已知，P?3,Q??. 则－???0.

xx2?x?yx3x31?y2(1?x2)ydy?0. 由格林公式得：?L?BCA3dx?xx21?y2(1?x2)y1?y2(1?x2)ydy＝??dx?dy. 于是，?L3dx?232BCAxxxx12?x?x1?y2(1?x2)y3对于BC:?,x从2变到1. ??dx?dy?dx??. 323?BC2xxx4?y?10?x?11?y2(1?x2)y对于CA:?,y从1变到0. ??dx?dy??(?2y)dy?1. 32CA1y?yxx?31故，原式＝-(??1)??.

444．设L为x2?y2?a2的反时针方向，则??L(x?y)dx?(x?y)dy?__.

x2?y2解：取适当的r?0，构造l:x2?y2?r2，为顺时针方向.记L与l围成的区域为D. 由已知，P?x?y?(x?y)?Q?P,Q?. 则??0. x2?y2x2?y2?x?y(x?y)dx?(x?y)dy?0. 22x?y由格林公式得：??L?l2?(x?y)dx?(x?y)dy(x?y)dx?(x?y)dy?????(?1)d???2?. 于是，??L?l0x2?y2x2?y2

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方法二：

(x?y)dx?(x?y)dy(x?y)dx?(x?y)dy2??(?)dxdy??2?. ?L???2222Lx?yaaD§10－4

dS222.其中?是介于平面z?0及z?H之间的圆柱面x?y?R(H?0). 222??x?y?z?解：记右半柱面为?1:y?R2?x2.于是，1?yx2?yz2?RR?x22.

?1在xoz面上的投影区域为：Dxz??(x,z)?R?x?R,0?z?H?. 记左半柱面为?2:y??R2?x2.于是，1?yx2?yz2??2在xoz面上的投影区域为也是Dxz.那么，

RR?x22.

dSdSdS1R???2?dxdz2222222222222????????22x?y?zx?y?zx?y?zx?(R?x)?zR?x??1?2Dxz?2R?R1R2?x2?Rdx??H01Hdz?2?arctan.22R?zR§10－5

1．??zdxdy,?为x2?y2?z2?a2的外侧.

?解：记上半球面为?1:z?a2?x2?y2.取上侧. 记下半球面为?2:z??a2?x2?y2.取下侧.

它们在xoy面上的投影区域均为：Dxy??(x,y)x2?y2?a2?.

于是，2?a??zdxdy＝??zdxdy???zdxdy=2????1?2Dxya?x?ydxdy?2?d??022204?a3a???d??.3222.

??(x?y)dxdy,?为圆锥面z＝?x2?y2介于z?0与z?h(h?0)之间的下侧.

解：?在xoy面上的投影区域均为：Dxy??(x,y)x2?y2?h2?.

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2于是，(x?y)dxdy＝－(x?y)dxdy??d????????(cos??sin?)d??0.

?Dxy002?h§10－6

1．??(z2?2x)dydz-2zdxdy,其中?为z?(x2?y2)介于z?0与z?2之间部

?12分的下侧.

解：构造辅助平面?1：z?2(x2?y2?4)，取上侧.则???1构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为?. 由已知，P?z2?2x, Q?0, R??2z.于是，

?P?Q?R???0. ?x?y?z2(z由高斯公式，得 ：????2x)dydz-2zdxdy????0dv?0.

???1?于是，

??(z?2?2x)dydz-2zdxdy????(z2?2x)dydz-2zdxdy?2??zdxdy?4?4??16?.

?1?12．??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，其中?为x2?y2?z2?a2(a?0)的外侧.

?解：记?所围成的空间区域为?. 由已知，P?x3, Q?y3, R?z3.于是，由高斯公式，得

?P?Q?R???3(x2?y2?z2). ?x?y?z??xdydz?ydzdx?zdxdy?3???(x??2?03332?y2?z2)dxdydz?a ?3?d??sin?d???4d??0012?a.55

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侧, 若曲面积分??zdxdy?I1,

?1??zdxdy?I2, 则必有( ).

?2(A) I1?I2

?(B) I1?I2 (C) I1?I2 (D) I1?I2?0

(?1)n?112. 设有级数?, 则( ) pnn?1(?1)n?1(?1)n?1(A) 当P?1 时, 级数?绝对收敛 (B) 当P?1 时, 级数?条件收ppn?1nn?1n??敛

(?1)n?1(?1)n?1(C) 当0?P?1 时, 级数?绝对收敛 (D) 当0?P?1 时, 级数?条ppnnn?1n?1??件收敛

十三. 解答题

7. 若L为曲线y?1?x?x,0?x?2, 计算?(x?y)ds.

L

8. 计算??1?4zdS, 其中?是z?x2?y2上z?1的部分曲面.

?

9. 设F(t)?

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x2?y2?t2??f?x2?y2?dxdy, 求F'(t).

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x2y210. 设L为椭圆?2xy?3x2?4y2?ds. ?1, 其周长记为a, 求???43L

111. 把f(x)?展开为形如?an(x?1)n的幂级数, 并确定其收敛区间.

3?4xn?0?

12. 证明?dy?01y0eyf(x)dx??e?ex01?2?f(x)dx.

13. 求由曲面z?x2?y2及z?12?2x2?2y2围成的立体的体积.

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14. 计算I??(exsiny?my)dx?(excosy?mdy), L是从点A(a,0)沿上半圆周x2?y2?axL到(0,0)的弧段.

15. 求幂级数?

?13xdydz?16. 计算曲面积分I??????z?y?1?y?3?f??z??y?dzdx?yf?z?dxdy, 其中f(u)有连续导

?????xn的收敛区间及其和函数. nn?2n?1?数, ?为曲面z?x2?y2?1与平面z?2围成的立体表面外侧.

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自测题二参考答案

十四. 1.

填空题

2.

28ln3 3?01dy?32?yyf(x,y)dx 3. 0

e?n!(x?1)n?1，???,??? n?0?4. 16? 5. 4?R 6.

十五. 选择题 1 C 2 D

十六. 解答下列各题.

3 C 4 C 5 B 6 D

17. 若L为曲线y?1?x?x,0?x?2, 计算?(x?y)ds.

L解：?(x?y)ds??(1?x)5dx??(x?1)dx?L011251? 2218. 计算??1?4zdS, 其中?是z?x2?y2上z?1的部分曲面.

?22 解：原式???1?4?x2?y2??1?4x2?4y2dxdy?????1?4?x?y???dxdy

DD??02?d???1?4?2??d??3?

0119. 设F(t)? 解： F(t)??x2?y2?t22???f?x2?y2?dxdy, 求F'(t).

tt0d??f??2??d??2??f??2??d?，所以 F'(t)??2t?f002?t

x2y220. 设L为椭圆?2xy?3x2?4y2?ds. ?1, 其周长记为a, 求???43L 解：原式???2xyds???12ds?0?12a?12a ??2xy?12?ds??LLL121. 把f(x)?展为形如?an(x?1)n的幂级数, 并确定其收敛区间.

3?4xn?0? 解：f(x)?111???3?4x7?4(x?1)7141?(x?1)7?

nn1?n?4n4???(?1)?(x?1)???(?1)n?1(x?1)n 7n?0?7?7n?0?由

3114x?1?1得收敛区间为??x?

4471y122. 证明?dy?00eyf(x)dx??e?ex0?2?f(x)dx.

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证明：交换积分次序，有

左??dx?2eyf(x)dy??f(x)dx?2eydy??f(x)ey0x0x0111111x2dx???e?e?f(x)dx=右，故得证

1x20十七. 求由曲面z?x2?y2及z?12?2x2?2y2围成的立体的体积.

2?0解：V????dV???d???d??0212?2?2?2dz?2???12??3?3?d??24?

02十八.

)上半圆周计算I??(exsiyn?mydx?)ex(y?cmosdy, L是从点A(a,0沿

Lx2?y2?ax到(0,0)的弧段.

解：由格林公式，有P?exsiny?my，Q?excosy?m，Py?excosy?m，Qx?excosy，

I??(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy?LL?OA??Qx?Py?dxdy???Qx?Py?dxdyOA????Qx?Py?dxdy?D?OA???a?2?ma2?Qx?Py?dxdy???mdxdy?0?m?????D

2?2?8十九.

xn求幂级数?的收敛域及其和函数. nn?2n?1a1(n?1)?2n?11?R?limn?lim??2，所以收敛区间为x?(?2,2) ， nnn??n??a1n?2n?1n?2??解： ?an?(?1)n1当x??2时，级数为?收敛，当x?2时，级数为?发散，故原级数的收敛域为

n?1nn?1nx?[?2,2)

设 S(X)??xn，x?[?2,2)， nn?1n?2??1?x?n?1111?则有 S'(X)??????， x2?x2n?1?2?21?2所以 S(x)??S'(t)dt??0xx012，x?[?2,2) dt?ln2?t2?x 二十.

?1f?y??y3?dzdx?1f?y?dxdy, 其中f(u)有连续3xdydz?计算曲面积分I????????????z?z??y?z?导数, ?为曲面z?x2?y2?1与平面z?2围成的立体表面外侧. 解：利用高斯公式，P?x3，Q?1?y?1y?，所以 f???y3，R?f??z?z?y?z??2?0I?????Px?Qy?Rz?dV?????3x2?3y2?dV?3???d???d??0121??dz?2?2

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