第四章生产论习题(1)

导数公式

1、?C???0

2、

?x?????x??1 3、?u?v???u??v?

4、

?uv???u?v?uv?

??5、?u??v?u?v?uv???v2

积分公式：

1、 ?0dx?c c

???2 ?xdx?1

??1x1?

????1?

是常数

c

第四章 生产论习题

3. 已知生产函数Q＝f(L， K)＝2KL－0.5L2－0.5K2， 假定厂商目

前处于短期生产，且K＝10。

(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。

(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。

(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？

解答： 切入点：

（1）题根据AP、MP定义可得出答案。

（2）题：要求得TP、AP、MP的最大值，只要对它们的函数求导，使得导数为0，就可以得到极值点。再求它们的二阶导数，如果为负就说明达到了极大值。

注意MP，在这里是一条斜率为负的直线，所以直接判断就可以。

（3）MP和AP曲线相交于AP线的最大值点上，明确这点就可以得出结论。 （1） 由已知的生产函数Q?2KL?0.5L可得短期生产函数为：

Q?20L?0.5L2?0.5?102?20L?0.5L2?502?0.5K2，而且K?10

根据定义： 劳动的总产量函数TPL?20L?0.5L2?50

劳动的平均产量函数APL?TPL50?20?0.5L? LLdTPL?20?L dLL劳动的边际产量函数MPL? （2）求总产量的最大值：令dTPdL?0

即：20?L?0 解得

d2TPL且：2??1?0

dLL?20

所以当劳动投入量为20时，TP最大。

L

关于平均产量的最大值：令dAPdLL?0

即?0.5?50L?2?0 解得 L?10

d2APL且：2??100L?3?0

dL 所以当劳动投入量为10时，劳动的平均产量最大。

关于边际产量的最大值：边际产量函数

MPL?20?L，是一条斜率为负的直线，应该知道

劳动的投入量不会是负值，所以当劳动投入量为0时，劳动的边际产量MP达到最大值。

L （3）当劳动的平均产量达到最大值时，一定有

APL?MPL，由以上计算可知当L?10时，劳动的平均产量

达到最大。

APL的最大值?20?0.5?10?50?10 10L 将L?10代入劳动的边际产量函数MPAPL?MPL?10

?20?L，可得

MPL?20?10?10，所以，当劳动投入量L?10时，

5．已知生产函数为Q＝min{2L， 3K}。求：

(1)当产量Q＝36时，L与K值分别是多少？

(2)如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？

解答： 切入点：

（1）这是个固定比例生产函数，原来我们讲过，如

?LK?Q?min,果没有另外说明，都认为 uv????????中，

L?K，把Q=36代入式子就可得L和K 的值。 Q?uv（2）同样计算出产量为480时，L和K的值，又知道L和K的价格，最小成本就知道了。

（1） 生产函数Q?min(2L,3K)表示该函数是一个固定投入比例生产函数，所以厂商进行生产时，总有Q?2L?3K

因为已知产量Q?36，所以相应地有L?18,K?12 （2）由Q?2L?3K，Q?480可得：

L?240K,?L1 6 又因为P?2,PK?5，所以有：

C?PL?L?PK?K?2?24?0?5?160

1 即生产480单位产量的最小成本为1280。

6、假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L2－L3。

求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。

(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？

解：

切入点：（1）根据平均产量和边际产量的定义得到两个函数；（2）合理的投入区域是AP达到最大值时L的投入量到MP=0时，L的投入量之间，计算出这两个L的量，看L=6是不是在这个区域中。 （1）根据所给产量函数得

AP?35?8L?L2 MP?35?16L?3L2

（2）AP

d(AP)?8?2L?0最大值时有dL

得L?4 MP=0时有MP?35?16L?3L2?0，解得L=7

所以，合理的劳动投入区域是4到7之间。L=6，处于合理的劳动投入区域中。

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