概率论和数理统计期末考试题库(6)

?e?y/2, y?0,d?因此，f Y (y)＝ FY(y)??2? ydy?0, y?0. ?五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求系

统L的寿命Z的密度函数。 解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。 显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝0； 当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝1－P (min (X, Y)>z) ＝1－P (X>z, Y>z)＝1－P (X>z)P (Y>z)＝1?因此，系统L的寿命Z的密度函数为

???z?e??xdx??e??ydy＝1?e?(???)z。 z????(???)e?(???)z, z?0df Z (z)＝ FZ(z)??dz0, z?0?五（4）、已知随机变量X～N（0，1），求Y＝|X|的密度函数。

解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝0； 当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝P(?y?X?y)

＝

?y12??ye?x2/2dx?2?y12??0e?x2/2dx

?2?y2/2 y?0,d?e因此，f Y (y)＝ FY(y)???dy?0, y?0. ?五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为

?Ae?(2x?3y), x?0,y?0 ;f(x, y)= ?

其它.?0, （1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。

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解：（1）由1＝

??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?(2x?3y)dxdy?A?e0???2xdx??e0???3y1dy＝A(?e?2x2??01)(?e?3y3??)?0A, 6 可得A＝6。

（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

?2e?2x, x?0 ;?3e?3y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ，

其它. 其它.?0, ?0, 则对于任意的(x,y)?R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝

?2x20?3y10??6e0021?(2x?3y)dxdy??2e02?2xdx??3e?3ydy

01 ＝(?e)(?e)?(1?e?4)(1?e?3).

五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为

?Ae?(3x?4y), x?0,y?0 ;f (x, y)= ?

其它.?0, （1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝

??????????f(x,y)dxdy??????0?0??0Ae?(3x?4y)dxdy?A?e0???3xdx??e?4ydy

0??1 ＝A(?e?3x301)(?e?4y4??)?A, 可得A＝12。 12 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

?3e?3x, x?0 ;?4e?4y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ，

其它. 其它.?0, ?0, 则对于任意的(x,y)?R, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。 （3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝

2?1100?(3x?4y)?3x?4y12edxdy?3edx?4edy ???00????第22页，共48页

＝(?e?3x10)(?e?4y)?(1?e?3)(1?e?4).

01五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)= ??6x, 0?x?y?1 ;

其它.?0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x≤1时，fX (x)＝

?????f(x,y)dy??6xdy?6x(1?x).

x1?6x?6x2, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

其它.?0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

?????yf(x,y)dx??6xdx?3x2|0?3y2.

0y?3y2, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。 五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为

?e?y, 0?x?y ;f (x, y)=?

其它.?0, （1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）当x≤0时，fX (x)＝0； 当x>0时，fX (x)＝

?????f(x,y)dy??e?ydy?e?x.

x??第23页，共48页

?e?x, x?0,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

?0, 其它.当y≤0时，fY (y)＝0； 当y>0时，fY (y)＝

?????f(x,y)dx??e?ydx?ye?y.

0y?ye?y, y?0,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

其它.?0, （2）因为f (1, 2)＝e，而fX (1) fY (2)＝e*2e＝2 e≠f (1, 2)， 所以，X与Y不独立。 五（9）、设随机变量X的概率密度为

-2

-1

-2

-3

?e?x,x?0 f(x)???0,其它设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。 解：当y<0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝0； 当y>1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝1； 当0≤y≤1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P ((F(X )≤y)＝P(X?F(y)) ＝F(F(y))?y

?1?1因此，f Y (y)＝

0?y?1,?1, d FY(y)??dy?0, 其它. 五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)= ??8xy, 0?x?y?1 ;

其它.?0, （1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。 解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0； 当0≤x≤1时，fX (x)＝

?????2f(x,y)dy??8xydy?4x?y2|1x?4x(1?x).

x1第24页，共48页

?4x?4x3, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

其它.?0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

?????yf(x,y)dx??8xydx?4y?x2|0?4y3.

0y?4y3, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。

?7 6?六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

6 9??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??228*4??128

??28 -2??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-2 4???-1-1?28?? ? 1???28??9 2?六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

2 1??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6

Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8

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