?x1y2?x2y1?0
③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|
??2?22121???? ④cos??［练习］
a·b??|a|·|b|??x1x2?y1y2x?y·x?y21212222
?????? （1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则
|a?b?c|? 答案：22
???
（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，当x? 答案：2
??时a与b共线且方向相同
?? （3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a?3b|? 答案：13 58. 线段的定比分点
????
设P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分点P?x，y?，设P1、P2是直线l上两点，P点在
??l上且不同于P1、P2，若存在一实数?，使P1P??PP2，则?叫做P分有向线段
?P1P2所成的比（??0，P在线段P1P2内，??0，P在P1P2外），且
x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P为P1P2中点时，? ?
y??yy?y22?y?1?y?1??1??2?? 如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3?
x1?x2?x3y?y2?y3? 则?ABC重心G的坐标是?，1??
??33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
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线∥线???线∥面???面∥面 ?判定性质 ???线⊥线???线⊥面???面⊥面????线∥线???线⊥面???面∥面 线面平行的判定：
a∥b，b?面?，a???a∥面?
a b ?? 线面平行的性质：
?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：
PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
线面垂直：
P ??O a
a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?
a O α b c
面面垂直：
a⊥面?，a?面???⊥?
面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?
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α a l β a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?
a b ??
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0时，b∥?或b??
o
（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o
- 33 -
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角的求法： ①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：cos??cos?·cos?
A θ O β B ????????????????????????C? D （?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）
α
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。
D1 C1 A1 B1 H G D C A B
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（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 （3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
P F D C A E B
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线??） 61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
D C A B D1 C1 A1 B1
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
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