江苏省盐城市时杨中学2015届高三上学期1月调研数学试卷(3)

解得 ＜n＜，

的整数部分，也就是12．

由于n为正整数，因此n最大为

故答案为：12

点评： 本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题．

二、解答题

15．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值； （2）若tanA=2，求tanC的值．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： （1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b=12=4+c﹣4c?cos（2）由tanA=2得结果．

解答： 解：（1）△ABC中，∵a=2，b=24c?cos

=4+c﹣2c，

2

22

，由此求得c的值．

，计算求

，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=

，∠B=，由余弦定理可得 b=12=4+c﹣

22

求得c=4，或c=﹣2（舍去），即c=4． （2）若tanA=2=

=

，∵tanB=tan

==

，∴tanC=﹣tan（A+B）．

点评： 本题主要考查余弦定理、两角和的正切公式，属于基础题． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB=PD． （1）求证：BD⊥PC；

（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l．

考点： 直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （1）根据线面垂直的性质证明BD⊥平面PAC即可． （2）根据线面平行的性质定理证明BC∥平面PAD即可． 解答： 解：（1）设AC与BD的中点为O，连结PO， ∵PB=PD，∴PO⊥BD，

∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC， ∵PO∩AC=0，

∴BD⊥平面PAC， ∵PC?平面PAC， ∴BD⊥PC．

（2）∵BC∥AD，BC?面PAD，AD?面PAD， ∴BC∥面PAD．

∵平面PBC与平面PAD的交线为l， ∴BC∥l．

点评： 本题主要考查空间直线和平面垂直的性质以及线面平行的性质的应用，要求熟练掌握相应的定理． 17．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB=2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧

，C到D是线段CD，设∠AOC=x rad，观光路

线总长为y km．

（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）求观光路线总长的最大值．

考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题；导数的综合应用．

分析： （1）由题意得y=1?x+1?sin（﹣x）×2，化简并写出定义域（0＜x＜）；

（2）求导y′=1﹣2cos（﹣x）以确定函数的单调性，从而求最大值．

解答： 解：（1）由题意得， y=1?x+1?sin（=x+2sin（

﹣x）×2

）； }；

﹣x），（0＜x＜

函数的定义域为{x|0＜x＜（2）y′=1﹣2cos（令y′=0解得，x=故当x=最大值为

﹣x）， ，

时，观光路线总长最大， +2×

=

+

（km）．

点评： 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．

18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、

右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．

（1）若点C的坐标为（，），且BF2=（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

，求椭圆的方程；

考点： 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．

（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．

解答： 解：（1）∵C的坐标为（，），

∴∵∴a=（

2

，即

，

，

）=2，即b=1，

+y=1．

2

22

则椭圆的方程为

（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0）， ∵B（0，b）， ∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程

+

=1（a＞b＞0）得（

）x﹣

2

=0，

解得x=0，或x=，

∵A（，），且A，C关于x轴对称，

∴C（，﹣），

则=﹣=，

∵F1C⊥AB， ∴

×（

）=﹣1，

由b=a﹣c得

222

，

即e=．

点评： 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．

19．（10分）设等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{an}满足2n﹣（t+bn）n+bn=0（t∈R，n∈N）． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列．

2

*

考点： 等差数列的通项公式；等差关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列．

2422

分析： （1）由题意，6a3=8a1+a5，则6q=8+q，解得q=4或q=2，因为q为正整数，所以q=2，故可得通项；

（2）分别令n=1，2，3，可得得b1=2t﹣4，b2=16﹣4t，b3=12﹣2t，由b1+b3=2b2，可得得t=3，

代入原式可得

，得bn=2n，由等差数列的定义可判．

2

4

2

2

解答： 解：（1）由题意，6a3=8a1+a5，则6q=8+q，解得q=4或q=2， 因为q为正整数，所以q=2，又a1=2，所以an=2（2）当n=1时，2﹣（t+b1）﹣4，

同理可得：n=2时，b2=16﹣4t，n=3时，b3=12﹣2t， 则由b1+b3=2b2，得t=3， 并且，当t=3时，

，

n

b1=0，得b1=2t

得bn=2n，由bn+1﹣bn=2，知此时数列{bn}为等差数列． 故答案为：t=3．

点评： 本题为等差、等比数列的综合应用，正确运用公式是解决问题的关键，属基础题．

20．（16分）已知函数f（x）=（x﹣a）e在x=2时取得极小值． （1）求实数a的值；

44

（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[em，en]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．

x

解答： 解：（1）f'（x）=e（x﹣a）（x﹣a+2），

由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．

2x

当a=2时，f'（x）=ex（x﹣2），

易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；

x

当a=4时，f'（x）=e（x﹣2）（x﹣4），

易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意． 所以，满足条件的a=2． （2）因为f（x）≥0，所以m≥0．

42n4

①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜en，所以（n﹣2）e=en． 设

，则

，

x

所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．

42n4

由于g（4）=e，即方程（n﹣2）e=en有唯一解为n=4． ②若m＞0，则2?[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2． （Ⅰ）n＞m＞2时，

，

由①可知不存在满足条件的m，n． （Ⅱ）0＜m＜n＜2时，

，

2m

2n

两式相除得m（m﹣2）e=n（n﹣2）e．

2x

设h（x）=x（x﹣2）e（0＜x＜2），

32x

则h'（x）=（x﹣x﹣4x+4）e

x

=（x+2）（x﹣1）（x﹣2）e，

h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减， 由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，

2m4

此时（m﹣2）e＜4e＜en，矛盾．

综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．

点评： 本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．

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