第3讲 尖子班 例题详解 - 图文

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经典精讲

图形的分割与拼接

把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．

反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．

如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．

图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．

如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．

如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．

图 形 的 分 割

把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 1

【分析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们

的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4??1??4???2?2，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么1?4就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2?2可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等

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高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．

AAABBC CB C

下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分． 2

【分析】 要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相

等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．

学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？ 3

思考习习学学思学思习考考考习思学

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【分析】 看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形

组成，它的形状不外乎如右下图所示的五种俄罗斯方块，

（1）（2）（3）（4）（5）

这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图(2)与原题右下角2?2的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图(2)可以先排除掉． 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：

考习思学学思习考学思考习学思习考思考习习学学思学思习考考考习思学

答案不唯一

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如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)． 4

【分析】 要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形

状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．

图 形 的 拼 合

用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中． ①③5

②④

【分析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4?4的正方形，目标倒推，在右边的大正

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方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：

①③①③①③④②②①→

→→

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试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形． 【分析】 方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，

加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图．

方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边

形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图．

方法一：

方法二：

图 形 的 剪 拼

将下图分成两块，然后拼成一个正方形． 7

【分析】 图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应该是

4．因为图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1(原来宽为3，向上平移使宽为4)，向左平移2(原来长为6，

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向左平移使长为4)．如右下图所示．

拼接分割

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把一个正方形分成8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积相等． 【分析】 连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们

分成4个小等腰直角三角形和4个等腰梯形．(如图⑴所示)，出于分成正方形、长方形面积相等的要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形了(如图⑵、⑶所示)．

5184372635162784

⑴ ⑵ ⑶

计算型图形拼割

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