（重要）高中数学数列十种求通项和七种求和方法-练习及答案(2)

解：令bn?1?24an，则an?故an?1?12(bn?1) 24121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 241612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn?1?(bn?3)

因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0 则2bn?1?bn?3，即bn?1?九、不动点法

例13 已知数列{an}满足an?1?131bn?，可化为bn?1?3?(bn?3)， 22221an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个

4x?14x?1不动点。因为

21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2???? 21a?24an?1?39an?3n?321an?24?3(4an?1)9an?274an?1十、倒数法

a1?1，an?1?2an，求an an?24. 求数列前n项和的常用方法

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q

n113、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k2?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n5、 Sn?13k?[n(n?1)]2 ?2k?123nn[例1]求x?x?x?????x????的前n项和. [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn的最大值.

(n?32)Sn?1二、错位相减法（等差乘等比）

[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1

[例4] 求数列

2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn??2?3?????n…………………………………①

222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）

222222212n ?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2三、倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).

012n[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n

012n证明： 设Sn?Cn………………………….. ① ?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn 把①式右边倒转过来得

nn?110 （反序） Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cnmn?m 又由Cn可得 ?Cn

01n?1n Sn?(2n?1)Cn…………..…….. ② ?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn01n?1n ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn ?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n （反序相加） ∴ Sn?(n?1)?2n

[例6] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值

解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ①

将①式右边反序得

S?sin89?sin88?????sin3?sin2?sin1…………..② （反序） 又因为 sinx?cos(90?x),sinx?cosx?1

①+②得 （反序相加）

?222?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89

∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ Sn??k(k?1)(2k?1)＝?(2kk?1k?1nn3?3k2?k)

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝2?k?1n k?3?k??k （分组）

32k?1k?1nn五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1???（1）an?f(n?1)?f(n) （2） ?tan(n?1)?tann??cosncos(n?1)

111(2n)2111（3）an? （4）an????1?(?)

n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（5）an?1111?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(6) an?n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.

[例9] 求数列

[例10] 在数列{an}中，an?的和.

12n2??????，又bn?，求数列{bn}的前n项n?1n?1n?1an?an?1111cos1???????? [例11] 求证： ??????2?cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1解：设S?111?????? ??????cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1???∵ （裂项） ?tan(n?1)?tann??cosncos(n?1) ∴S? ＝

111?????? （裂项求和）

cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?1????????{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ?sin111cos1????(tan89?tan0)＝?cot1＝2? ＝??sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立 六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosn??cos(180?n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

???

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