（重要）高中数学数列十种求通项和七种求和方法-练习及答案

高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和：Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?d 2n?p?q性质： （1）若m?，则am?an?ap?aq（2）；?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数） 2. 等比数列的定义与性质

定义：

an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 .an等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.

?na1(q?1)?前n项和：Sn??a1?1?qn?（要注意公比q）

(q?1)?1?q?性质：?an?是等比数列（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq 3．求数列通项公式的常用方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。

an?1an3an?1an3an????{}是以，则，故数列n?1nn?1nn2222222an3a123??1?1?(n?1)为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以n21222231n数列{an}的通项公式为an?(n?)2。

22解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得

二、累加法 an?an?1?f(n)

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。

例3已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3则

n?1

，得

an?1an21???， 3n?13n33n?1an?1an21??? n?1nn?13333三、累乘法

an?f(n) an?1例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则

an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3

?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n?1?3?5n(n?1)2所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.

例5 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足

a1?1，an?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。

解：因为an?a1?2a2?3a3?所以an?1?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)

②

①

?(n?1)an?1?nan

用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)

故

an?1?n?1(n?2) an四、待定系数法（重点）

例6 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列?an?的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

④

将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2an?2x?5n，等式两边消去2an，得

n3?5n?x?5n?1?2x?5n，两边除以5，得3?5x?2,x则x??1,代入④式得an?1?5n?1?2(an?5n)

例7 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得

⑥

3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。

nn令??5?2x?3x?x?5n?1n，则?，代入⑥式得an?1?5?2?2?3(an?5?2?2)

?4?y?3y?y?2⑦

例8 已知数列{an}满足an?1?2an?3n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z) ⑧

将an?1?2an?3n2?4n?5代入⑧式，得

2an?3n2?4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)，则 2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z

等式两边消去2an，得(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z，

?3?x?2x?x?3??解方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得

?x?y?z?5?2z?z?18??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18) ⑨

五、对数变换法

5例9 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。

55解：因为an?1?2?3n?an式两边取常用对，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3n?an数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2

⑩

11 ○

设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 六、迭代法

3(n?1)2例10 已知数列{an}满足an?1?an，a1?5，求数列{an}的通项公式。

n3(n?1)23n?2解：因为an?1?an，所以an?an?1nn?13(n?1)?2?[an]3n?2?? ?2n?2n?1七、数学归纳法 例11 已知an?1?an?8(n?1)8，a?，求数列{an}的通项公式。（其他方法呢？） 122(2n?1)(2n?3)9解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 19(2n?1)2(2n?3)2

8(1?1)88?224???(2?1?1)2(2?1?3)299?25258(2?1)248?348 a3?a2????(2?2?1)2(2?2?3)22525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，往下用数学归纳法证明这个结论。 2(2n?1)(2?1?1)2?18（1）当n?1时，a1??，所以等式成立。

(2?1?1)29(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时， 2(2k?1)8(k?1) 22(2k?1)(2k?3)ak?1?ak?(2k?1)2?18(k?1)??(2k?1)2(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?3)2?8(k?1)?(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)(2k?3)?(2k?1)(2k?1)2(2k?3)2222

(2k?3)2?1?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。 八、换元法

例12 已知数列{an}满足an?1?*1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 16

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