2.4等比数列第2课时等比数列的性质学案

第2课时 等比数列的性质6

学习目标：1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．推广的等比数列的通项公式

{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1q2．“子数列”性质

对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为q.

思考：如何推导an＝amqn－m?kn－1

，an＝am·qn－m(m，n∈N)．

*

ana·qn－1n－m[提示] 由＝＝q，

ama·qm－1∴an＝am·qn－m.

3．等比数列项的运算性质

在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am·an＝ap·aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N)时，am·an＝ak.

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1

*

2*

＝…＝ak·an－k＋1＝….

4．两等比数列合成数列的性质

2

若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an}{an·bn}，??也

?an??bn?

为等比数列.

思考：等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3an}是等比数列； (2){3＋an}是等比数列；

?1?

(3)??是等比数列； ?an?

(4){a2n}是等比数列．

[提示]由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( ) (2)当q>1时，{an}为递增数列．( ) (3)当q＝1时，{an}为常数列．( ) [答案] (1) √ (2)× (3)√

- 1 -

提示：(2)当a1>0且q>1时{an}为递增数列，故(2)错．

2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝________，an＝________. 24 3×2

n－1

[a4＝a1q＝3×2＝24，an＝a1q33n－1

＝3×2

n－1

.]

3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.

【导学号：91432203】

9 [因为a7＝a5q， 32

所以q＝.

2

9422

所以a9＝a5q＝a5(q)＝4×＝9.]

4

4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________． 25 [因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

灵活设项求解等比数列

3

已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为

2

________．

111123

8，－2，，－或－，，－2,8 [设此4个数为a，aq，aq，aq.

2882346

则aq＝1，aq(1＋q)＝－，①

2

123232

所以aq＝±1，当aq＝1时，q>0，代入①式化简可得q－q＋1＝0，此方程无解；

4171232

当aq＝－1时，q<0，代入①式化简可得q＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.

441

当q＝－4时，a＝－；

81

当q＝－时，a＝8.

4

1111

所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2,8.]

2882[规律方法] 巧设等差数列、等比数列的方法： (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，2

aqaq，aq2. - 2 -

(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq.若四个正数成等比数列，可设为3，，aq，aq2aqaqaq3. [跟踪训练] 1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数.

【导学号：91432204】

[解] 由题意设此四个数为bq，b，bq，a，

?b3

＝－8则有?

，?2bq＝a＋b，

??ab2q＝－80，

?a＝10，?解得?

?b＝－2，

或?＝－8，??

b＝－2，?q＝－2，

a??q＝52

.

所以这四个数为1，－2,4,10或－4

5

，－2，－5，－8.

等比数列的性质及应用

已知{an}为等比数列，

(1)等比数列{a12

n}满足a2a4＝2，求a1a3a5；

(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；

(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．

思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解． [解] (1)等比数列{a1212

1n}中，因为a2a4＝2，所以a3＝a1a5＝a2a4＝2，所以a1a3a5＝4. (2)由等比中项，化简条件得

a2a22

3＋2a35＋a5＝25，即(a3＋a5)＝25，

∵an>0，∴a3＋a5＝5.

(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log5

39＝10.

- 3 -

[规律方法] 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用. [跟踪训练] 2．(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7. (2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.

【导学号：91432205】

??a1q＝3，

[解] (1)法一：?10

??a1q＝27

4

2

相除得q＝9.

8

所以q＝3，所以a7＝a3·q＝9.

法二：因为a7＝a3a11＝81，所以a7＝±9， 又a7＝a3q＝3q>0，所以a7＝9.

(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15， 所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.

4

42

4

a7124

所以q＝＝4或，所以q＝±2或q＝±.

a342

由递推公式转化为等比数列求通项

[探究问题]

1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，(n∈N)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？

提示：由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列． 2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一个等比数列吗？

提示：在an＋1＝2an＋1两边都加1得

*

an＋1＋1＝2(an＋1)，显然数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以q＝2为公比的等比数列．

3．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1改为an＋1＝3an＋5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？

提示：设将an＋1＝3an＋5变形为an＋1＋x＝3(an＋x)．将该式整理为an＋1＝3an＋2x与an＋1＝3an?5?55

?a＋＋5对比可知2x＝5，即x＝；所以在an＋1＝3an＋5两边都加，可构造出等比数列n?.利用

2?22?

5

等比数列求出an＋即可求出an.

2

- 4 -

已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值．

(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．

思路探究：(1)由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；(2)先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．

[解] (1)因为Sn＝2an＋n－4，

所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3. (2)证明：因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n≥2时，

Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，

Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，

所以an－1＝2(an－1－1)， 又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1， 且b1＝a1－1＝2≠0，

所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．

母题探究：1.将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2”，“bn＝an－1”改为“bn＝an＋1－2an”，试证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式．

[证明] an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an.

bn＋1an＋2－2an＋1

＝ bnan＋1－2an＝

an＋1－4an－2an＋12an＋1－4an＝＝2.

an＋1－2anan＋1－2an所以数列{bn}是公比为2的等比数列， 首项为a2－2a1.

因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2， 所以a2＝5，所以b1＝a2－2a1＝3. 所以bn＝3·2

n－1

.

2

2

2．将本例条件“Sn＝2an＋n－4”改为“a1＝1，an＋1＝2an＋anan＋1”，试证明数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式．

[解] 由已知得an＋1－anan＋1－2an＝0，所以(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0. 所以an＋1－2an＝0或an＋1＋an＝0， (1)当an＋1－2an＝0时，

2

2

an＋1

＝2.又a1＝1， ann－1

所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．所以an＝2

.

- 5 -

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