3线性方程组解法

第3章 线性方程组的解法

本章讨论线性方程组

??a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2?? ??an1x1?an2x2???annxn?bn的求解问题.

线性方程组的矩阵表示

Ax?b

式中A称为系数矩阵，b称为右端项。

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数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。 直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。

迭代法是一种逐次逼近的方法。

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1 线性方程组的迭代解法

线性方程组迭代解法有Jocobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法及Sor法等 基本思想（与简单迭代法类比） 将线性方程组Ax?b等价变形为

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x?Bx?g

以构造向量迭代格式

x?k?1??Bx?k??1??g

?2?用算出的向量迭代序列x,x,?去逼近解。

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1. 构造原理

（1） Jacobi

迭代法

将线性方程组的第i个变元xi用其他n-1个变元表出，可得

??x11?a(b1?a12x2?a13x3???a1nxn)?11???x2?1a(b2?a21x1?a23x3???a2nxn)?22?…… ??x?1na(bn?an1x1?an2x2????ann?1xn?1)nn

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