对几个矩阵不等式的探讨及应用

对几个矩阵不等式的探讨及应用

任德耀 指导老师:李建华

(河西学院数学与应用数学专业2011届3班28号, 甘肃张掖 734000)

摘要 本文主要对几个矩阵不等式给出证明,并给出具体例子说明这几个矩阵不等式在证明题中的的应用.

关键词 矩阵不等式 正定矩阵 对称矩阵 中图分类号 O151.21.

1 引言

矩阵是数学研究及其应用的一个重要工具,在数学学科和许多科学领域都有广泛的应用.而矩阵不等式在近些年来引起了许多学者的兴趣,一些经典不等式在矩阵中的推广及应用更是成为研究的热门问题.本文对几个矩阵不等式进行了深入研究,主要目的是给出了几个不等式的证明，并将其运用到证明题中.今后还将更深入的对矩阵不等式进行研究.

2 预备知识

引理1[1] 设r?A?n?k?r,则存在矩阵Mn?r与Nr?k,r?M??r?N??r(即M列无关,N行无关),使A?MN.

引理2[2] 设?i,?i均为正数，则

[?(?i??i)]?(??i)?(??i)

i?1i?1i=1n1nn1nn1n当且仅当?i?p??i(i?1,2,?,n)时，等号成立.

引理3[3] 设A正定，为B对称矩阵，则存在可逆矩阵T，且|T|，使得 T'AT?diag(?1,?2,?,?n) T'BT?diag(?1,?2,?,?n) 其中?i?0,?i?R(i?1,2,?,n).

引理4[2] 设A,B是n?n阶正定实对称矩阵,则对任意的正数?，?有

|?A??B|??|A|??|B| 等号成立当且仅当A?kB,(k?0).

1n1n1n3 对几个矩阵不等式的证明

定理1(Frobenius不等式)[4] 设A,B,C依次为m?n,m?s,s?t矩阵，则

r(ABC)?r(AB?)(rB?C)(r. )B证明 由分块矩阵的初等变换知

?AB?0?B?第一行又乘-C加到第二行，再第二行乘-1?ABB?第二行左乘-A加到第一行?0?????????????????????????BC?ABCC????ABC0??AB?r(?0BC???B??0)r(?BC???ABCB?)?r(ABC)?r(B) 0??B?0??又初等变换不改变分块矩阵的秩及引理1，知：

?ABr(AB)?r(BC)???0从而 r(ABC)?r(AB)?r(BC)?r(B).

定理2 设A,B正定，A?Ia,B?Ib，则

(A?B?Ia?Ib)?(A?Ia)?(B?Ib) （1） 当且仅当a?1A?b?1B时等号成立.

证明 因A,B正定，有引理3知，存在可逆矩阵T，且T?1，使得 T'AT?diag(?1,?2,?,?n)

T'BT?diag(?1,?2,?,?n) （2）

(i?1,2,?,n),因此 其中?i?0,?i?0，1n1n1n A???i B???i

i?1i?1nn A?B?T'(A?B)T?T'AT?T'BT??(?i??i) （3）

i?1n又因 Ia?an Ib?an Ia?Ib?(a?b)n 于是不等式（1）等价于

[?(?i??i)?(a?b)]?(??i?a)?(??i?b)

i?1i?1i?1n1nnn1nnn1nn由已知条件及引理2知（3）式成立，从而定理得证，等号成立的条件是：当且仅当（3）式等号成立，即有 ?ia??ib，代入（2），得

a?1T'AT?diag(?ia,?,?na)?diag(?1b,?,?nb)?b?1T'BT 即 a?1A?b?1B 在（1）中令a?0?,b?0?，即得（1）.

推论1 设Ai正定，则

?Ai?1k1ni??Ai

i?1k1n当且仅当c1A1?c2A2???ckAk(ci?0)时，等号成立.

定理3 设A、B为n?n阶正定实对称矩阵,r?n(r为实数)则对任意正数

?，?有 (???)A?kB,(k?0).

r?nr|?A??B|??|A|??|B|

1r1r1r当r?n时,等式成立当且仅当A?B,当r?n时,等式成立当且仅当

证明 当r?n时,由引理4得证 当r?n时,设r?qp(?n)pqq?npqq?n,p,q为正数且(p,q)?1则 p (???)|?A??B|

1pqpq ?(???) ?(???)?|?A??B|??A??B00

q?npq|?A??B|E

01q1q ?(???)q?npq

?A??B1q ?(???)q?npq?A0??B0??????0??0???? ?0A??0B?????上式中的E为p?p阶单位矩阵,因为A,B是n?n阶正定实对称矩阵,所以

?A0??B0????? ?0?与?0?

?0A??0B?????实质为(np)?(np)阶正定实对称矩阵,而q?np,所以

?A0??B0????

??0??0?????0A??0B?????1q (???)q?npqA01qB0??00Bpq1q ??00Apq

??|A|??|B| 即,(???)r?nr|?A??B|??|A|??|B| ,证毕.

1r1r1r推论2 设r?n,?i?0,Ai(i?1,2,?,m)为n?n阶正定实对称矩阵，则 (??i)i?1mr?nr??Aii?1m1ri???iAi

i?1m1r当r?n时,等式成立当且仅当Ai?A1.当r?n时,等式成立当且仅当

Ai?kAi,(k?0).

证明 用归纳法，当m?1或2时显然成立.假设当k?m?1时已成立，则当时有

(?1??2????m)

?[?1???(?m?1??m)]r?nrr?nr|?1A1??2A2????mAm|

1r1r?1A1???(?m?1??m)????m?1?mAm?1?Am?

?m?1??m???m?1??m1r???i|Ai|?(?m?1??m)i?1m?21r?m?1?mAm?1?A

?m?1??m?m?1??mm??m?1???m?1?m?m????iAi?(?m?1??m)?|Am?1|?|Am|?????????????????i?1m?1mm?1mm?1mm?1m????m?21r1r1rrr?n???iAi

i?1m1r即当k?m时成立，得证.

4 几个矩阵不等式的应用

例1 设A,B都是n?n矩阵，证明：若AB?0，那么r(A)?r(B)?n. 证明 由AB?0，于是r(A)?r(B)?n以r(AB)?0，由定理1得 0?r(AB)?r(A)?r(B)?n.

例2 设A,B,C是三个n阶方阵，证明：若r(B)?r(AB)，则rB(C)rA?B(C证明 由r(B)?r(AB)和定理1知 r(ABC)?r(AB)?r(BC)?r(B)?r(BC) 另一方面 r(ABC)?r(BC) 故 r(BC)?r(ABC) .

X1Y1?Z12?0，X2Y2?Z22?0的所有实例3 求证：对满足条件X1?0,X2?0，).

数X1,X2,Y1,Y2及Z1，Z2有不等式

811??

(X1?X2)(Y1?Y2)?(Z1?Z2)2X1Y1?Z12X2Y2?Z22

成立，并求出等号成立的条件.

证明 由题设知，2阶实矩阵

?X1A? 1??Z1Z1??X2A?? 2?Y1??Z2Z2?? Y2?是正定的，且原不等式等价于

811??

A1?A2A1A2由推论1有

A1?A2?(A1?(A2)2?4?(A1?A2)?811??

A1?A2A1A28A1?1?A2?1

即

故原不等式成立，当且仅当A1?A2，即X1?X2,Y1?Y2,Z1?Z2时，等号成立.

例4 证明不等式

(?pk)(?pkak)?(?pkakt)2

2tk?1k?1k?1nnn 证明 取r?2,Ak?(ak2t)为一阶矩阵，则|Ak|?ak2t,(k?1,2,?,n)，由推论2 得到

(?pk)k?1n2?12(?pkak)??pk(ak)??pkakt

k?1k?1k?1n12t2n12t2n两边平方得

(?pk)(?pkak)?(?pkakt)2

2tk?1k?1k?1nnn得证.

5 小结

本文对三个矩阵不等式进行了研究，证明了三个矩阵不等式在一定条件下成立，并得出其推论.然后又将三个矩阵不等式或其推论运用到证明题中，充分说明了该矩阵不等式的存在和成立.本文只是对三个矩阵不等式进行了研究，不具备代表性，未来还将对更多的矩阵不等式进行更深入的研究.

参 考 文 献

[1]王莲花,梁保松.Frobenius不等式的一个证明及其应用.安阳师范学院学报[J]，2004(5).

[2]方献亚.正定实对称矩阵的几个不等式.数学通报[J],1985(3).

[3]郑维英.一个矩阵不等式的改进及应用.鞍山钢铁学院学报[J],2000(5). [4]胡海清.线性代数解题分析[M].长沙：湖南科学技术出版社,1985.

[5]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式（第二版）[M].北京：科学出版社,2006.

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