定义法，韦达定理法在解抛物线与直线相交问题中的应用 - 图文

个性化教学辅导教案

学科：数学 任课教师： 授课时间：2013 年 7 月 27 日(星期 六 ) 08 : 00 ~ 10 : 00 姓名 年级 高三 性别 男 教学课题 抛物线 1. 抛物线基础知识点 教学 目标 2. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 3. 抛物线的焦半径、焦点弦公式 重点：掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准 重点 难点 方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点：与焦点有关的计算与论证 课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 第 1次课 第 一 讲 圆锥曲线抛物线 1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK?p ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。 OF?OK?④顶点平分焦点到准线的垂线段：p。 2KM1M2CNP⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆oQF圆必与准线相必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： y2?2px，y2??2px，x2?2py，x2??2py。 1

4抛物线y2?2px的图像和性质： yM2?p?①焦点坐标是：?，0?， ?2?②准线方程是：x??p。 2KM1PoFQx③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y2?2px上焦点的距离（称为焦半径）是：PF?x0?④焦点弦长公式：过焦点弦长PQ?x1?2一点，则该点到抛物线的p， 2pp?x2??x1?x2?p 222y⑤抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt2,2pt)或P(x?,y?)其中y?2?2px? 2p5一般情况归纳：. ①.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p?0)： 标准方程 图形 xOy2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py ▲x2??2py ▲yyyyxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 ②.抛物线的焦半径、焦点弦 pF(,0) 2x??p 2 F(?p 2 F(0,p) 2 F(0,?p 2p,0) 2p) 2x?y??p 2y?x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） e?1 1?，y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P； 222? ，过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. p23 ，AB为抛物线y?2px的焦点弦，则xAxB? ，yAyB??p2，|AB|=xA?xB?p 4?22

?x?2pt2③ y?2px的参数方程为??y?2pt2（t为参数），x2?2py的参数方程为??x?2pt2?y?2pt（t为参数）. 6.解抛物线（圆锥曲线）问题的常用方法： 1、定义法 抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明 2? 韦达定理法： ? 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3? 设而不求法： 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法。 4?数形结合法： 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 1.定义法在解题中的应用 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________ (2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PH?PF，因而易HAQPFB发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点时，距离和最小。 共线3 解：（1）（2，2） 连PF，当A、P、F三点共线时，AP?PH?AP?PF最小，此时AF的方程为y?42?0(x?1) 3?11即 y=22(x-1),代入y2=4x得P(2,22)，（注：另一交点为(,?2)，它为直线AF与抛物线2的另一交点，舍去） 1（2）（,1） 4过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，BQ?QF?BQ?QR最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=11，∴Q(,1) 44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例2、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。 解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0) 22?(x1?x2)2?(x12?x2)?9① 则? ?x1?x2?2x0② ?22③ ?x1?x2?2y0由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 9， 21?4x02?∴4y0?4x024y0?4x0?992?(4x?1)??1 0224x04x0?14

≥29?1?5, y0?5 4当4x02+1=3 即 x0??2255,) 时，(y0)min?此时M(?2244yMAA1A20M1M2B1B2xB法二：如图，2MM2?AA2?BB2?AF?BF?AB?3 313∴MM2?， 即MM1??， 2425∴MM1?， 当AB经过焦点F时取得最小值。 4∴M到x轴的最短距离为5 4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。 2.韦达定理在解析几何中的应用 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB∣=∣x1-x2∣?1?k2=[(x1?x2)2?4x1x2](1?k2) 或∣AB∣=∣y1-y2∣?1?112 =[(y?y)?4yy](1?) ， 121222kk立刻发现里面藏着韦达定理（其中x1、x2分别表示弦的两个端点的横坐标，y1、y2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 pp). 联立方程组y2=2px和y=2(x-) 消去x得y2-py-p2=0.∵△225p=5p2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y1+y2=p,y1y2=-p2.故弦长d= 2解：易知直线的方程为y=2(x-5

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