硕士研究生入学考试试题 高等数学

Kμ Space

硕士研究生入学考试试题

考试科目：高等数学（含线性代数）

一、填空题（每小题5分，共30分） 1、设函数f(x)为可微函数，且

?e2x?x?1，x?0?3x?2、设f(x)???，则limf(x)? ． 2x?0??0sintdt，x?0?3x?ddxf(1x)?42x1，则f?(?)? ．

4

3、设xex是f(x)的一个原函数，则?xf?(x)dx? ．

4、设函数y=y(x)由方程x＝y确定，则

5、交换二次积分次序后，?dy??101?y2yx

dydx? ．

f(x，y)dx? ．

6、已知α＝（1，2，3），β＝(1，，)，设A＝αTβ，其中αT是α的转置矩阵，则An＝ ．

2311

（以下10个题目，每题12分，共120分）

二、求?

2??sin2x?cosxdx．

2 I

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三、已知f(x)?

?xsinttdtx，求?f(x)dx．

01四、试求?(2ydx?3xdy?z2dz)，其中Γ为圆周x2?y2?z2?9，z＝0，若从z轴的正向看

?去，这圆周是取逆时针方向．

222五、试求??(x?yz)dydz?(y?xz)dzdx?(z?xy)dxdy，其中S+为球面(x?a)2?(y?b)2

S??(z?c)?R22的外侧．

II

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六、求幂函数?(n?1)2xn的和函数，并注明成立的范围．

n?0

七、将函数f(x)?的和．

八、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A．已知MA?OA，且L过点(，)，求L的方程．

2233??x2?在（0，2π）内展成周期为2π的傅里叶级数，并求出级数?k?0(?1)k2k?1

III

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九、设f(x)与g(x)在区间（a，b）内可导，?x∈(a，b)有f(x)g?(x)?f?(x)?0，试证明f(x)在（a，b）内最多只有一个零点．

十、已知向量组?1，?2，?，?（s?2）线性无关，设?1??1??2，?2??2??3，s?，?s?1??s?1??s，?s??s??1，试证明当

?，?s线性无关；而当ss为奇数时，向量组?1，?2，?，?s线性相关． 为偶数时，向量组?1，?2，

十一、设A，B为两个n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，试证明A的特征向量也总是B的特征向量的充分必要条件为AB＝BA．

IV

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