甘肃省兰州一中2016届高三（上）期中数学试卷（文科）（版）资料(4)

由

，∴DH⊥PQ，则kDH=﹣，∴

=﹣；

∴t=1+3k2 ②

∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）； 综上，得t∈（﹣2，4）．

21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．

（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值； （2）在（1）的条件下，求证：g（x）＞f（x）﹣2ln2． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0，即可求b的值； （2）设F（x）=g（x）﹣f（x）+2ln2=x2﹣（x﹣）+2lnx+2ln2，求导数，确定函数的单调性，即可证明结论． 【解答】解：（1）当a=1时，由已知得到f（x）在x=1处的导数为0． 而f'（x）=1+

﹣，所以f'（1）=2﹣b=0，从而b=2．

（2）设F（x）=g（x）﹣f（x）+2ln2=x2﹣（x﹣）+2lnx+2ln2

F'（x）=2x﹣1﹣+=

设w（x）=2x3﹣x2+2x﹣1，（x＞0）w'（x）=6x2﹣2x+2=2（3x2﹣x+1）恒＞0，即有w（x）在x＞0上是增函数．又因为w（x）=（2x﹣1）（x2+1）， 可知w（）=0，

则当x∈（0，）时，w（x）＜0；当x∈（，+∞）时，w（x）＞0

所以当x∈（0，）时，F（x）单调减；当x∈（，+∞）时，F（x）单调增． 所以F（x）≥F（）=＞0，

∴g（x）＞f（x）﹣2ln2．

选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．

（1）若CG=1，CD=4．求

的值．

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（2）求证：FG∥AC．

【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此

=

=4；

=

，结合∠EAC=

（2）根据切割线定理证出AB2=AD?AE，所以AC2=AD?AE，证出

∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC． 【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O， ∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED． 因此△CGF∽△CDE，可得又∵CG=1，CD=4， ∴

=4；

=

，

证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线， ∴AB2=AD?AE， ∵AB=AC，

∴AC2=AD?AE，可得

=

，

又∵∠EAC=∠DAC，

∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE， ∵四边形DEGF内接于⊙O， ∴∠ADC=∠EGF，

因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．

[选修4～4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数），在极坐标系（与

直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．

（1）求圆C的直角坐标方程； （2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．

（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

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【解答】解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2

=9．

（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0， 由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根， ∴

，

又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得

=，

∴|PA|+|PB|的最小值为．

[选修4～5：不等式选讲]

24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M， （1）证明：|a+b|＜；

（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由． 【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．

【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；

（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．

【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，

由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．… ∵a、b∈M，∴

，

所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．… （2）由（1）得a2＜，b2＜．

因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2） =（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…

所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…

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2016年11月13日

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