辽宁石油化工大学继续教育学院论文
人员普遍关注的前沿性课题。近几年来，国外在非线性动力学或非线性系统学主题下，出现可大量关于分叉、混沌研究的文献，主要有Holms，Wiggins，Golubistsky等为代表的关于全局分叉、同宿和异宿轨道分析、奇异和群论分析、分叉等解析方面的研究，有以Hsu，Tongue等的胞映射、插值胞映射等为代表的数值方法研究。国内外许多著名学者早非线性震动系统、Hamilton系统及其摄动系统的复杂运动分析、胞映射方法改进及符号动力学方面，也做了大量的工作。
2.2 跟踪微分器（TD）
跟踪微分器TD是这样一个动态系统：对于输入信号V(t),它将输出两个信号x1
和x2，其中x1是跟踪V(t)，而x2?x，从而把x2作为V(t)的“近似微分”。由跟踪器得到的微分信号是输入信号广义导数的一种光滑逼近。
因为对于任意给定的连续、不连续信号，TD可以给出连续、无超调的跟踪信号。所以把跟踪微分器引入到经典PID控制器中，即克服了经典PID控制由于没有对给定信号进行预处理而给系统带来额不必要的结构上的干扰，有克服了经典PID误差信号微分失真。利用TD的PID控制器的结构图如图2-1所示。
?v(t)e0e?TDe1e2线性或非线性组合u(t)被控对象y(t)
图2-1 利用TD的PID控制器
2.2.1 跟踪微分器的数学表达式 二阶跟踪微分器的方程为
??x1?x2x2x2?x2??Rsign(x) (2.1) 1?v(t)?2R??
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为了避免在原点附近的颤振，将符号函数改为饱和函数就得到有效的二阶跟踪微分器：
??x1?x2?x2x2x2??Rsat(x,?) （2.2） 1?v(t)??2R?
其中，
TD滤波器的离散化公式如式（2.3）所示：
x(k?1)?x(kh)?x(k)112x(k?1)?x(kh)?fst2((xk),x(k),(vk),,)rh2212? (2.3)
其中：x1用于跟踪输入信号v，x2用于跟踪v的二阶导数，r是决定跟踪快慢的参数，r越大，x1越能更快地跟踪信号v；h是数值积分步长。
是如下的非线性函数：
其中
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2.2.2 跟踪微分器的数学模型的搭建（simulink下的实现）
在Matlab环境下，可以通过两种方式来实现跟踪微分器的功能：一种是通过编写s函数，也就是编程的方式来实现；另外一种就是在simulink仿真下，通过各个功能模块的搭建来实现的。在本设计中，采用后者。
跟踪微分器的数学表达式如式(3-2)所示，下面即展示利用simulink模块分步实现跟踪微分器的各个功能。对于函数
，其搭建的simulink模块为图2-2所示：
图 2-2 sat()函数功能模块
其中ln1为输入，Out1为输出，并用了几个功能模块：Abs1为取绝对值； Sign为符号函数；Divide1为乘除函数；Switch为选择函数（当输入值的绝对值大于限值时上路接通；当输入值的绝对值小于限值是，下路接通）。所以，设限值为?，
A当A>?时，sat(A,?)=sign(A)；当A
?sat(A,?)函数的功能了。
在此基础上，就可以实现公式（2.2）的功能了，如图2-3所示：
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图2-3 subsystem子系统模块
图中子系统Subsystem1所封装的内容即图2-2所示的内容即sat()函数。Subsystem的输入由三部分组成：x1、?v(t)、上路接入的信号为x1；从下路接入的信号为
x2x22R，其中ln1为输入信号v(t)；从
x2x22R。三路信号的和作为Subsystem的
输入信号，输出信号进入乘除器，作为被除数，除数为-R。乘除器的输出信号进入一个积分器就得到了x2，再经过一个积分器就得到信号x1。再把信号x2引出，经一个乘除器与其绝对值相乘，再除以2R，就可得到已经搭建好了，如图2-4所示
x2x22R。所以整个TD的模型就
图 2-4 TD的实现
把图2-3封装子系统为Subsystem，如上图所示，ln1为输入端，Out1和Out2为输出端。Out1端的输出跟踪输入信号，Out2端的输出为输入的近似微分。
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2.2.3 跟踪微分器的仿真实现与分析
（1）前面已述，微分跟踪是这样一个动态系统：对于输入信号V(t),它将输出两个信号x1和x2，其中x1是跟踪V(t)，而x2?x，从而把x2作为V(t)的“近似微分”。由跟踪器得到的微分信号是输入信号广义导数的一种光滑逼近。给系统加一个正弦信号，幅值为2，频率为1 rad/s。输入正弦函数图形如图2-5所示：
图 2-5 输入正弦图形
输出x1和x2分别如图2-6和2-7所示：
图 2-6 x1输出图形
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