理论力学基础(北师大)习题(6)

题8.8图

8.9. 如题8.9图所示, 质量为m1的滑块A可以沿水平轴x运动, 质量为m2的小球P被长

为l的轻杆与滑块相连, 组成的摆可在竖直平面内摆动, 试写出下面两种情况下的拉格朗日函数, 并判断存在哪些初积分.(1) 滑块在x轴上自由滑动；(2) 滑块以x?Asin?t的规律在x轴上滑动.A,?为常量.

题8.9图

8.10. 如题8.10图所示, 离心节速器由四根长度均为l的相同的轻杆和两个质量均为m1的

质点A和B, 以及可沿竖直轴滑动的质量为m2的套管C组成. 杆均用光滑铰链连接.O点是固定点. 整个系统可绕竖直轴无摩擦地滑动. 试由此系统的拉格朗日函数判断存在的初积分.

题8.10图

8.11. 如题8.11图所示, 质量为m的小环P套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿圆圈运动.

??如果圆圈在水平面内以等角速度绕过圈上某一点的竖直轴转动, 用拉格朗日方程求

小环相对大环的运动微分方程, 并判断存在的初积分.

题8.11图

8.12. 如题8.12图所示, 质量为m1的圆柱体s放在质量为m2的圆柱体P上做无滑动滚动,

P放置在粗糙平面上. 已知两圆柱的对称轴都是水平的, 且质心在同一竖直面内, 开

始时系统是静止的, 两圆柱连心线沿竖直方向. 若以圆柱体P的初始位置为固定坐标原点, 试证明圆柱s的质心在任意时刻的坐标为

m1??(3m2?m1)sin??x?C?C3(m2?m1)??y?Ccos? ?C

式中C为两圆柱对称轴间的距离, ?为两圆柱连心线与竖直向上的直线的夹角.

题8.12图

8.13. 如题8.13图所示, 一匀质直杆AB, 质量为m, 长为2l, 两端约束在半径为R的

光滑水平圆圈上, l?R, 圆圈被固定在水平面内. 一质量为m的甲虫以不变的相对

???u速度沿杆运动. 初始时甲虫在杆的中点, 杆的转动角速度为0. 设杆与水平固定直

?t??

线的夹角为,试用拉格朗日方法求杆在时刻的转动角速度.

题8.13图

8.14. 如题8.14图所示, 匀质细杆AB, 质量为m, 长2a,A端可在水平光滑导轨上运

?动, 杆在铅垂平面内绕A端摆动. 杆除重力作用外,B端还受到水平力F的作用.试用

拉格朗日方法求出摆角很小时杆的运动微分方程.

题8.14图

8.15. 如题8.15图所示, 水平放置的行星齿轮, 曲柄OA带动齿轮S2在固定齿轮S1上滚

动. 已知曲柄的质量为m1, S2的质量为m2, 半径为r, 齿轮S1的半径为R. 今在的转动角速度.

?M曲柄上作用一个不变的力矩, 并把齿轮视为匀质圆盘, 试用拉格朗日方程求出曲柄

题8.15图

8.16. 如题8.16图所示, 质量为m的质点P1固定在长为l的轻杆的一端, 轻杆的另一端铰

接在固定点O上；长为l的另一轻杆的上端与质点P1铰接, 另一端与质量也为m的质点P2连接. 各铰链光滑. 以两杆分别与竖直向下方向所夹的角度?1, ?2作为广义坐标, 求此系统的微振动运动方程及简正频率,并讨论其简正模式.

题8.16图

8.17. 如题8.17图所示, 耦合摆由两个相同的摆和一个水平弹簧组成. 两摆均在同一竖直

平面内摆动. 弹簧原长a等于摆的两悬挂点之距离. 已知摆锤质量为m, 杆的长度为

l, 忽略杆的质量. 弹簧两端与摆锤相连, 弹簧的劲度系数为k. 试求该系统的简正

频率及简正模式.

题8.17图

8.18. 如题8.18图所示, 3个质量相等的珠子只能沿水平圆轨道运动, 圆的半径为R, 珠

子由3个无质量的, 自然长度为2?R3的弹簧相联, 弹簧的劲度系数为k. (1) 试求系统的简正频率；

(2) 假设初始时3质点静止, 质点2和3在它们自己的平衡位置, 而质点1偏离了

?R6的距离, 求质点1,2,3的运动.

(3) 用计算机符号计算, 算出力学系统的简正频率和本征矢量.

题8.18图

第九章思考题

s9.1. 在拉格朗日表述和哈密顿表述中, H均为??1, 在这两种表述中, H有

何不同?将它们加以区分的意义何在?

9.2. 哈密顿函数在什么情况下为常量? 在什么情况下为机械能? 9.3. 何谓泊松括号和泊松定理? 泊松定理有何功用?

????Lp?q第九章习题

9.1. 一质量为m的质点, 在半径为R的光滑固定球面上运动, 试建立此质点的正则方程,

并判断存在的守恒量. 9.2. 试建立复摆的正则方程.

9.3. 如题9.3图所示, 质量分别为m1, m2的小球同串在一根光滑的水平杆上, 两球用劲

度系数为k的弹簧连接, 弹簧原长为l. (1)试从哈密顿函数判断是否存在广义能量积分和广义动量积分, 并写出表达式；(2) 应用正则方程, 写出两小球的运动微分方程.

题9.3图

9.4. 如题9.4图所示, 一质点用两弹簧连接, 在一直线上运动.已知质点的质量为,弹簧的

劲度系数为k, 原长均为固定点间距离的一半, 弹簧质量不计. 试写出系统的哈密顿函数,并用正则方程, 求出质点的运动学方程.

??pL9.5. 试求由质点系的动量和角动量在直角坐标系中各个分量所组成的泊松括号.

题9.4图

9.6. 求证:

?(1) ?t??,???????????,???t????,?t?????

(2) ??,??,??????,??,??????,??,?

???0

第十章思考题

??F?F(r)rr是保守力场. 10.1. 试从数学上证明有心力场

10.2. 可以试一试, 若用二维直角坐标建立行星的运动方程是否便于求解.

10.3. 教材中第十章方程(10.2.1)式及其解在适当改变后能否适用于平方反比斥力情况? 10.4. 研究人造地球卫星的运动是采用什么参考系? 三个宇宙速度是相对什么参考系而言

的? 10.5. 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68.5, 比苏

联和美国第一次发射的都要大. 为什么说交角越大, 发射的难度越大? 交角大的优点是什么? 10.6. 已知太阳的质量为m?1.99?1030?kg, 设想太阳在不断收缩, 密度不断增大. 试证

8当半径缩小为3km时, 太阳的逃逸速度将等于光速c?2.998?10ms. 此时, 太阳的引力将强到使一切物质都不能从太阳逃逸出来. 这种高密度的恒星被称为黑洞. 10.7. 将?粒子换为带负电的粒子,它的散射轨道应是怎样的?

10.8. 试证二体散射问题中相对质心系的散射角等于相对靶粒子参考系的散射角.

10.9. 试从非惯性系中动力学方程出发, 推导出教材中第十章二体相对运动方程(10.5.9)

式.

??mmv10.10. 在两体问题中, 若r表示质点1相对质点2的位矢, 表示质点m1相对质点m2的相对速度, 试证:

??r?uv(1)两体相对质心的角动量为；

(2)两体相对质心的动能为$(12)uv.

2第十章习题

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