提高班第五次课(2)

∴∠4=∠1，∠1=∠3. ∵∠2+∠3=900, ∴∠1+∠2=900. 即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足. ∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切， ∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD， ∴∠1=∠2.

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∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∴F在⊙D上. ∴AC与⊙D相切.

说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.

例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900

. 求证：CD是⊙O的切线.

证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足. ∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB.

∵AC∥BD，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， O ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.

∴Rt△AOC∽Rt△BDO. ∴

ACOCOB?OD.

∵OA=OB，

∴

ACOA?OCOD.

又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC∽△ODC， ∴∠1=∠2.

又∵OA⊥AC，OE⊥CD,

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∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.

证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.

∵AC，BD与⊙O相切， ∴AC⊥OA，BD⊥OB. ∵AC∥BD， ∴∠F=∠BDO. 又∵OA=OB，

∴△AOF≌△BOD（AAS） ∴OF=OD. ∵∠COD=900， ∴CF=CD，∠1=∠2. 又∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线.

证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.

∵AC与⊙O相切， ∴AC⊥AO. ∵AC∥BD， ∴AO⊥BD.

∵BD与⊙O相切于B， ∴AO的延长线必经过点B. ∴AB是⊙O的直径.

∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，

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∴OF∥AC， ∴∠1=∠COF.

∵∠COD=900，CF=DF， ∴OF?12CD?CF.

∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.

∵OA⊥AC，OE⊥CD， ∴OE=OA. ∴E点在⊙O上. ∴CD是⊙O的切线

说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.

此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.

如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。

证明：过O作OE⊥L于E。 ∵AC⊥L，BD⊥L， ∴AC∥OE∥BD。 又AO=OB， ∴CE=CD

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从而OE为梯形ACDB的中位线。

∴OE=(AC+BD)=AB

即垂足E到圆心O的距离等于半径。

故直线L与⊙O相切。

以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.

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