高三数学高考基础知识详解

数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑：

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 。

集合元素的互异性：如：

A?{x,xy,lg(xy)}，B{0,|x|,y}，求A；

（2）集合与元素的关系用符号?，?表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。

注意：区分集合中元素的形式：如：A?{x|y?x2?2x?1}；B?{y|y?x2?2x?1}；

C?{(x,y)|y?x2?2x?1}；D?{x|x?x2?2x?1}；E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

yF?{(x,y')|y?x2?2x?1}；G?{z|y?x2?2x?1,z?}

x（5）空集是指不含任何元素的集合。（{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为

A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。

如：

A?{x|ax2?2x?1?0}，如果A?R???，求a的取值。

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）

A?B?{____________________}；A?B?{_______________________}；

CUA?{____________________} （3）对于任意集合

①

A,B，则：

A?B___B?A；A?B___B?A；A?B___A?B； A?B?A? ；A?B?A? ；

②

CUA?B?U? ；CUA?B??? ；

③CUA?CUB? ； ?CU(A?B)；

（4）①若n为偶数，则n? ；若n为奇数，则n? ；

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②若n被3除余0，则n则n（1）若集合

? ；若n被3除余1，则n? ；若n被3除余2，

? ；

三、集合中元素的个数的计算：

A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所

有非空真子集的个数是 。 （2）

A?B中元素的个数的计算公式为：Card(A?B)? ；

（3）韦恩图的运用： 四、

A?{x|x满足条件p}，B?{x|x满足条件q}，

若 ；则若 ；则若 ；则若 ；则

p是q的充分非必要条件?A_____B； p是q的必要非充分条件?A_____B； p是q的充要条件?A_____B；

p是q的既非充分又非必要条件?___________；

五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；

注意：“若?p如：“sin???q，则p?q”在解题中的运用，

”是“??sin???”的 条件。

六、反证法：当证明“若

p，则q”感到困难时，改证它的等价命题“若?q则?p”成立，

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定

结论正确。

矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

正面词语 否定 正面词语 否定

二、函数

一、映射与函数：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若

等于 至少有一个 大于 任意的 小于 所有的 是 都是 至多有n个 至多有一个 任意两个 A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到BA到B的一一映射有 个。

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的函数有 个，若A?{1,2,3}，则

函数

y??(x)的图象与直线x?a交点的个数为 个。

二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法： ①

y?f(x)*，则 ； ②y?2nf(x)(n?N)则 ； g(x)③

y?[f(x)]0，则 ； ④如：y?logf(x)g(x)，则 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论； 如：已知函数

y?f(x)的定义域是[0,1]，求?(x)?f(x?a)?f(x?a)的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为r，扇形面积为S，则S（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用型如：

?f(r)? ；定义域为 。

f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形

y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，

y?ax?b,x?(m,n)；

cx?d④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：

y?x?k(k?0)，利用平均值不等式公式来求值域； x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域：①

y?a?bx(a?0,b?0,a?b,x?[?1,1])（2种方法）；

a?bxx2?x?3x2?x?3,x?(??,0)（2种方法）,x?(??,0)（2种方法）②y?；③y?；

xx?1三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

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复合函数法和图像法。 应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。 f(x) －f(-x)=0? f(x) =f(-x) ?f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0? f(x) =－f(-x) ?f(x)为奇函数。 判别方法：定义法，图像法，复合函数法。 应用：把函数值进行转化求解。

周期性定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。 （ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量a（ｍ，ｎ）平移的意义。 对称变换：y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x),关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数） 伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如： （1）（3）（5） （7）

?y?f(x)的图象如图，作出下列函数图象： y?f(?x)；（2）y??f(x)； y?f(|x|)；（4）y?|f(x)|； y?f(2x)；（6）y?f(x?1)； y?f(x)?1；（8）y??f(?x)；

O (2,0) (0,-1) x y y=f(x) （9）

y?f?1(x)。

五、反函数： （1）定义：

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ； （4）求反函数的步骤：①将

y?f(x)看成关于x的方程，解出x?f?1(y)，若有两解，要注意解的选择；

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②将x,y互换，得y?f?1(x)； ③写出反函数的定义域（即y?f(x)的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系： ； （6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

x2如：求下列函数的反函数：f(x)?x?2x?3(x?0)；f(x)?；f(x)?log2x?2(x?0) xx?12?12七、常用的初等函数： （1）一元一次函数：（2）一元二次函数： 一般式：两点式：

y?ax?b(a?0)，当a?0时，是增函数；当a?0时，是减函数；

y?ax2?bx?c(a?0)；对称轴方程是 ；顶点为 ； y?a(x?x1)(x?x2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ；

顶点式：

y?a(x?k)2?h；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性： 当a?0时： 为增函数； 为减函数；

当a?0时： 为增函数； 为减函数。

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

y?a(x?k)2?h的形式，

a?0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； a?0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a?0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； a?0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：

y?x2?x?1,x?[?1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

y?x2?x?1,x?[a,a?1]

f(x)?ax2?bx?c?0的两根为x1,x2；则：

x1?k?x2 ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程

根的情况 x1?x2?k x1?x2?k 5 当前第 页共33页

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