2014年上海高考数学二模解答题前三题专题（教师版）(3)

浦东

（文）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，

AA1?AB?AC?1，?ABC??4，D是CC1的中点，点M在线段A1B1上.

（1）当M为A1B1中点时，求异面直线DM与AB所成角的大小. （2）指出直线CC1与平面MAB的位置关系（不用证明），并求三棱锥D?MAB的体积. 解：（1）∵AB//A1B1

DM与AB所成的∴?A1MD或其补角是异面直线

角. ?????????????3分

0连接A，则三角形为直角三角形，且，DADM?DAM?90111A1D?15，A1M?

22∴tan?A1MD?A1D?5 ??????????5分 A1M∴异面直线DM与AB所成的角为arctan5.???6分

MAB（不必证明）??????????7分 （2）CC1//平面AA1B1B即CC1∥平面

?CA?平面AA1B1B ∵CA?AB， CA?AA1，

所以C到平面AA1B1B的距离为CA=1.

CC1∥平面AA1B1B，

C到平面AA1B1B的距离相等，为CA=1. ????9分 可知D到平面AA1B1B的距离与

?MAB的面积S又AB//A1B1，∴

ABM?11AB?AA1????????????11分 221?VD?MAB?S3

ABM111?CA???AC?.?????????????????12分

32620．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且?PAQ?D

Q C

?4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面.设

?PAB??，搜索区域的面积为S.

（1）试建立S与tan?的关系式，并指出?的取值范

围；

（2）求S的最大值，并求此时?的值.

A

P

)? B

解：（1）S?SABCD?S?ABP?S?ADQ ????????????????????2分

?100?50tan??50tan(??) ?????????????????4分

4?1?tan?????100?50?tan??,(0???) ?????????????6分 ?1?tan?4??（2）令t?1?tan?,t?(1,2) ??????????????????????8分

?1?(t?1)2?22 S?100?50??100?50(t??2)?200?50(t?) ?????10分 ?ttt??t?222?2t??22，（当且仅当t?时，即t?2??1,2?，等号成立）?12分

ttt?当t?2时，搜索区域面积S的最大值为200?1002（平方海里）

此时，??arctan(2?1) ??????????????????????14分 21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. （文）已知定义在N*上的函数f(x)，对任意正整数n1、n2，都有

f(n?1?n2)?1?f(1n)，且f(2n)f(1)?1.

（1）若对任意正整数n，有an?f(2n)?1，求a1、a2的值，并证明{an}为等比数列； （2）若对任意正整数n，f(n)使得不等式取值范围．

解：（1）令n1?n2?1，得f(2)?1?f?1??f?1?，

则f(2)?3，a1?f(2)?1?4 ??????????????????????1分 令n1?n2?2，得f(4)?1?f?2??f?2?，则f(4)?7，a2?f(4)?1?8 ??2分

令n1?n2?2n，得f(2?2)?1?f(2)?f(2)， 即f(2n?1nnnnf(n)3?log2(x?1)恒成立，求实数x的2n8)?1?2f(2n)， ???????????????????????4分

n?1n1?f(2)?则f(2)?1?2???，an?1?2an

所以，数列{an}是等比数列，公比q?2，首项a1?4. ??????????6分

（2）令n1?n,n2?1，得f(n?1)?1?f(1)?f(n)，即f(n?1)?f(n)?2

则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项f(1)?1.

故f(n)?1?(n?1)?2?2n?1. ???????????????????8分 设g(n)?f(n)2n?1?，则 2n2n2n?12n?13?2ng(n?1)?g(n)?n?1?n?n?1

222当n?1时，g(n?1)?g(n)?0，即g(2)?g(1)

当n?2时，g(n?1)?g(n)?0，即n?2时，{g(n)}是递减数列. 所以，gmax?g(2)?从而log2(x?1)?3????????????????????????11分 4383，即log2(x?1)?2????????????????12分 4?x?1?0则?，解得x?(3,??)．????????????????????14分

x?1?4?

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