2010.4.20初等数论(1) - 图文(2)

《初等数论》-高等教育出版社

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程107x?37y?25.（8分）

?429?3、求??,其中563是素数. （8分）

?563?4、解同余式111x?75(mod321).（8分） 5、求[525,231]=?

6、求解不定方程6x?11y?18.

7、判断同余式x2?365(mod1847)是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.（11分） 2、证明当n是奇数时，有3(2n?1).（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分） 4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b.初等数论试卷 一、单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x为实数，?x?为x的整数部分，则( ) Ａ．?x??x??x??1； Ｂ．?x??x??x??1； Ｃ．?x??x??x??1； Ｄ．?x??x??x??1． ２．下列命题中不正确的是( )

Ａ．整数a1,a2,?,an的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数a1,a2,?,an的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a与它的绝对值有相同的约数

３．设二元一次不定方程ax?by?c（其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解x0,y0,d??a,b?，则此方程的一切解可表为( )

abＡ．x?x0?t,y?y0?t,t?0,?1,?2,?;

dd

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abt,y?y0?t,t?0,?1,?2,?; ddbaＣ．x?x0?t,y?y0?t,t?0,?1,?2,?;

ddbaＤ．x?x0?t,y?y0?t,t?0,?1,?2,?;

dd４．下列各组数中不构成勾股数的是( )

Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )

Ｂ．x?x0?Ａ．a1?b1?modm?,a2?b2?modm??a1?a2?b1?b2?modm?; Ｂ．a1?b1?modm?,a2?b2?modm??a1a2?bb12?modm?; Ｃ．a1?b1?modm??a1a2?b1a2?modm?; Ｄ．a12?b12?modm??a1?b1?modm?. ６．模１０的一个简化剩余系是( )

Ａ．0,1,2,?,9; Ｂ．1,2,3,?,10; Ｃ．?5,?4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4; Ｄ．1,3,7,9. ７．a?b?modm?的充分必要条件是( ) Ａ．ma?b; Ｂ．a?bm; Ｃ．ma?b; Ｄ．a?bm.

８．设f?x??x4?2x3?8x?9，同余式f?x??0?mod5?的所有解为( ) Ａ．x?1或?1; Ｂ．x?1或4; Ｃ．x?1或?1?mod5?; Ｄ．无解． 9、设

f(x)=anxn????a1x?a0其中ai是奇数,若x?0x?mod?p为f(x)?0?modp?的一个解，

则:( )

A．????modp?一定为f(x)?0?modp??,??1的一个解 B．???0?modp??,??1,一定为f(x)?0?modp??的一个解

C．当p不整除f(x)时,f(x)?0?modp??一定有解x?x0?modp??,其中x??x0?modp? D．若x?x0?modp??为f(x)?0?modp??的一个解,则有x??x0?modp? 10．设f(x)?anxn????a1x?a0,其中ai为奇数,an??0?modp?,n?p,则同余式

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（ ） f(x)?0?modp?的解数：

A．有时大于p但不大于n; B．可超过p

C．等于p D．等于n

11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( )

A．3 B．11 C．13 D．23

12．若雅可比符号??a??m???1，则 ( )

A．同余式x2?a?modm?一定有解,

B．当?a,m??1时,同余式x2?a?modp?有解; C．当m?p(奇数)时,同余式x2?a?modp?有解; D．当a?p(奇数)时同余式,x2?a?modp?有解．

13．若同余式x2?a?mod2??,??3,?2,a??1有解,则解数等于( )

A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )

A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D15． 若模m的单根存在，下列数中，m可能等于: ( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )

A．ind32?2 B． ind32?3 C． ind35?0 D． ind310?ind32?ind35 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B． 欧拉函数??a?；

C．不超过x的质数的个数??x?； D．除数函数??a?；

18． 若x对模m的指数是ab，a>0，ab>0，则x?对模m的指数是( ) A．a B．b C．ab D．无法确定 19．f?a?，g?a?均为可乘函数，则( )

A．f?a?g?a?为可乘函数； B．f?a?g?a?为可乘函数

C．f?a??g?a?为可乘函数； D．f?a??g?a?为可乘函数 20．设??a?为茂陛乌斯函数，则有( )不成立

．无法确定 《初等数论》-高等教育出版社

A．??1??1 B．???1??1 C．??2???1 D．??9??0 二．填空题：（每小题1分，共10分）

21． 3在45!中的最高次n＝ ____________________；

22． 多元一次不定方程：a1x1?a2x2???anxn?N，其中a1 ，a2 ，?，an，N均为整数，n?2，有整数解的充分必要条件是___________________；

a23．有理数，0?a?b，?a,b??1，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；

b24． 设x?x0?modm?为一次同余式ax?b?modm?，a?0?modm?的一个解，则它的所有解为_________________________；

25． 威尔生（wilson）定理：________________________________________；

?503?26． 勒让德符号??=________________________________________；

?1013?27． 若?a,p??1，则a是模p的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设??1，g为模p?的一个原根，则模2p?的一个原根为_____________； 30． ??48??_________________________________。

三．简答题：（5分／题×4题＝20分）

31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。

32．“若?a,m??1，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

?k?1?234．设a?p1为a的标准分解式，记S?a?为a的正因数的和，则S?a???a?为a的正因数的个数，p2?pk＝？ ??a?＝？ 为什么？

四．计算题。（7分／题×4题＝28分）

35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

?x?1?mod5??36． 解同余方程组?y?3?mod6?

?z?2?mod7??37．解同余式x2≡11(mod125) 38．求模13的所有原根。 五、证明题：（7分/题×2题=14分）

39、试证： x2?2y2?z2，（x，y）=1 y是偶数的整数解可写成：

x??(a2?2b2) y?2ab z?a2?2b2 这里a?b?0，?a,b??1，并且

一为奇数，一为偶数。

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40、设a为正整数，试证：

??(d)???()?a

d|ad|aad其中?表示展布在a的一切正因数上的和式。

d|a六、应用题：（8分）

41、求30！中末尾0的个数。

参考答案

一．单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。

二．填空题：21．21；22．?a1,a2,?,an?|N；23．?b,10??1；24．x0?t+1?0?modp?,p为素数；26．1； 27．ap?12m,t?0,?1,?2,?；25．?p?1?！a,m???1?modp?；28．????m??；29．g与g?p?中的单数；30．16

2三．简答题：31．答：命题正确。? ?2m?1??1????2m?1??1?????2m?1??1??

?2m??2m?2??4m?m?1? 而m?m?1?必为2的倍数。

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32．正确．证明见教材P47。

1?p?1?pp?17,33．在摸p的简化剩余系中与12,22,?,?同余的数是数的平方剩余，?p?1??8，?22??212?1,22?4,32?9,42?16，52?8,62?2,72?15,82?13

故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方

非剩余。

34．s?a???1?pi?p???pi2ii?1k??i?p?i?1?1 ??pi?1i?1k ??a????1?1???2?1????k?1?

证明：若f?a?为可乘函数，则?f?????1?f?pi???fpi?i?|ai?1k????．

分别令f?a??a.f?a??1，它们为可乘函数，即得出。 四．计算题

35．解：因为?6,93??3|75，故原不定方程有解。

又原方程即 2x?31y?25，而易见方程2x?31y?1有解

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