学而思杯赛题(2)

19、如图，A、B、C、D、E、F共6个长方形区域构成了一把手枪的示意图．各区域边长关系已在图中标出．现仅知区域A的周长是30厘米，求扳机处阴影区域的面积最大为多少？

abA2b+1a+1a+23b+2【解析】

abA2b+1a+1a+2a+2a+1ab2b+1

3b+23b+2

将手枪补成长方形后并向右翻折一次．此时形成的大长方形长为6a?6，宽为6b?3，即长宽和为6a?6?6b?3?6(a?b)?9?6?15?9?99是一个定值，即大长方形面积最大为

2（99?2）=2450.25（平方厘米）．

而阴影区域面积为大长方形面积的十八分之一，即最大为2450.25?18=136.125平方厘米． 【答案】136.125平方厘米．

20、今有A、B两组数．A组：17，19，23，79；B组：12，18，20，22． 每组各选一个数相加，所得的和可以用两个完全平方数的差表示．

22例如：12?17?29?15?14．

选择四次后，要求两组数不重复地全部用完，找到的8个完全平方数．

请构造一种配对方式，使这8个完全平方数互不相同且总和最小．并求出这个总和． 【解析】

⑴ 为使和比较小，那么8个完全平方数要尽可能小；

22⑵ 设从两组中各取一个数后相加得S，S?a?b?(a?b)(a?b)，另设a?b?m，a?b?n，为使m尽可能小，则n尽可能大，由于质数只能分解为1乘本身，如果S是质数，那么和将比较大，因此优先满足得到的和为合数： 所有配对之和为质数的情况如下： A组 B组 17 19 23

18，20 12，22 6

20

79 12，20 配对结果如下：（17，18）（19，20）（23，22）（79，12） 17?18?35?5?7?(6?1)(6?1)?62?12

19?20?39?3?13?(8?5)(8?5)?82?52

23?22?45?5?9?(7?2)(7?2)?72?22

8个完全平方数各不相同，满足要求，和为：12?22?32?52?62?72?82?102?288．

79?12?91?13?7?(10?3)(10?3)?102?32

【答案】（17，18）（19，20）（23，22）（79，12）；288．

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